针对您提出的“轻微逃逸立案后怎么挽救”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

在轻微刮蹭逃逸并已经立案的情况下，您仍然有机会采取一些补救措施，以期获得更为宽容的处理。

首先，立即主动向当地公安部门报案是至关重要的。在报案过程中，您需要诚实地交代自己的行为，包括逃逸的具体情况、原因以及后续的认识等。这种主动报案并如实陈述的行为，可以被视为自首情节，在量刑时通常会得到适当的考量和宽大处理。

其次，积极与受害者进行沟通协商也是必不可少的步骤。您需要主动与受害者取得联系，表达您的歉意，并寻求解决方案。尽可能与受害者达成赔偿协议，并按照约定履行赔偿义务。这一过程中，展现出您的诚意和责任感，对于赢得受害者的谅解具有至关重要的作用。受害者的谅解往往会在法律处理中起到积极的减轻处罚的效果。

然而，需要明确的是，尽管采取了这些补救措施，也不能完全消除您所承担的法律责任。逃逸行为本身已经违反了法律规定，因此您需要承担相应的法律后果。但是，通过积极采取补救措施，您确实有可能在一定程度上减轻所面临的处罚。

具体的处罚结果将取决于案件的具体情况，包括刮蹭事故所导致的财产损失程度、您的逃逸行为的严重性以及其他相关因素。法院或相关部门在量刑时，会综合考虑这些因素，以及您所采取的补救措施和态度，来做出最终的判决。

总而言之，积极采取补救措施，展现出您愿意承担责任的诚意，是争取从轻处理的正确态度。希望您能够认真对待此事，积极配合相关部门的调查和处理，以期获得更为宽容的结果。