如果打架时被对方胸部连捅三刀，可能构成的伤害程度需根据具体伤情鉴定结果来确定，但一般来说，这种行为极有可能构成重伤。以下是从不同角度对此问题的详细分析：

一、法律对伤害程度的定义

根据《人体损伤程度鉴定标准》，伤害程度通常分为轻微伤、轻伤和重伤。重伤是指使人肢体残废、毁人容貌、丧失听觉、丧失视觉、丧失其他器官功能或者其他对于人身健康有重大伤害的损伤，包括重伤一级和重伤二级。在这个案例中，胸部被连捅三刀，很可能导致严重的内脏损伤、大量出血等危及生命的后果，因此极有可能构成重伤。

二、具体伤情对伤害程度的影响

1. 刀伤深度与位置：如果刀伤深入胸腔，损伤了心脏、肺等重要器官，那么伤害程度将非常严重，很可能构成重伤。
2. 出血量与救治情况：大量出血且未及时救治可能导致休克甚至死亡，这也会加重伤害程度。
3. 后续治疗与康复：即使经过救治，如果留下了严重的后遗症或功能障碍，如心肺功能受损等，也可能影响伤害程度的鉴定。

三、法律后果

1. 刑事责任：如果行为人故意伤害他人身体，致人重伤的，根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条的规定，将处三年以上十年以下有期徒刑。
2. 民事责任：行为人还需要承担民事赔偿责任，包括医疗费、误工费、护理费、残疾赔偿金等。

四、建议与措施

1. 立即报警：在发生此类事件后，应立即报警并保护好现场，以便警方进行调查和取证。
2. 及时就医：尽快前往医院接受治疗，并保留好所有医疗记录和费用单据，以便后续维权。
3. 咨询律师：在处理此类事件时，建议咨询专业律师以了解自己的权利和义务，以及如何维护自己的合法权益。

总结来说，打架时被对方胸部连捅三刀极有可能构成重伤，具体伤害程度需根据伤情鉴定结果来确定。行为人将可能面临刑事责任和民事责任的双重追究。因此，在遇到此类事件时，请务必保持冷静并采取正确的措施来维护自己的权益。如果有任何法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。