核心结论：老师乘坐出租车受伤住院的赔偿问题，需根据事故责任划分来确定赔偿主体及方式，主要分为出租车司机全责、乘客（老师）自身存在过错、第三方导致事故三种情况。

具体分析如下：

1. 若事故责任完全在出租车司机一方：

   • 根据《民法典》侵权责任编，出租车司机因过错造成乘客损害的，应当承担侵权责任。
   • 赔偿范围包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。若造成残疾，还应赔偿辅助器具费和残疾赔偿金。
   • 若出租车司机受雇于出租车公司，则赔偿责任可能由出租车公司承担（雇主责任）。

2. 若乘客（老师）自身存在过错（如未系安全带、突然下车等）：

   • 根据《民法典》过错相抵原则，乘客的过错行为可能减轻出租车司机或公司的赔偿责任。
   • 具体赔偿比例需根据双方过错程度由法院或调解机构判定。

3. 若事故由第三方导致（如其他车辆违规变道引发碰撞）：

   • 第三方车辆驾驶人或车主需承担主要赔偿责任。
   • 出租车司机或公司若已尽到安全保障义务（如提醒乘客系安全带、规范驾驶），则不承担责任；若存在过错（如超速、未避让），则需按过错比例承担相应责任。

行动建议：

• 立即报警并保留事故现场证据（如拍照、录像）。
• 收集医疗费用单据、误工证明等赔偿材料。
• 联系出租车公司或司机协商赔偿；若协商无果，可向法院起诉或申请调解。
• 若涉及第三方责任，需同时向第三方主张赔偿。

提示：赔偿问题需结合具体证据和法律规定，建议受伤老师或家属尽快委托律师介入，以最大限度维护合法权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询。