向被害人敲诈勒索1万元，但被害人仅给了一千元，该行为仍然构成犯罪。以下从不同角度对此问题进行详细分析：

一、敲诈勒索罪的构成要件

根据《中华人民共和国刑法》第二百七十四条，敲诈勒索公私财物，数额较大或者多次敲诈勒索的，构成敲诈勒索罪。这里的“数额较大”通常指的是敲诈勒索公私财物价值二千元至五千元以上，具体标准可能因地区而异。因此，即使被害人仅支付了一千元，但敲诈勒索的意图金额为一万元，已经超出了“数额较大”的起点，该行为仍然可能构成犯罪。

二、犯罪未遂与既遂的区分

1. 犯罪未遂：根据《中华人民共和国刑法》第二十三条，已经着手实行犯罪，由于犯罪分子意志以外的原因而未得逞的，是犯罪未遂。对于敲诈勒索罪来说，如果行为人已经着手实施敲诈行为，但由于被害人未支付全部金额或报警等原因而未能得逞，那么该行为构成犯罪未遂。

2. 犯罪既遂：如果被害人支付了行为人要求的全部金额，那么该行为构成犯罪既遂。在本案例中，虽然被害人仅支付了一千元，但行为人的敲诈勒索行为已经着手实施，且其意图金额为一万元，因此该行为更接近于犯罪未遂而非既遂。然而，这并不影响其构成犯罪的事实。

三、特定情形下的犯罪构成

即使敲诈勒索的金额未达到通常的“数额较大”标准，但如果存在以下特定情形之一，该行为仍然可能构成犯罪：

1. 曾因敲诈勒索受过刑事处罚的；
2. 一年内曾因敲诈勒索受过行政处罚的；
3. 对未成年人、残疾人、老年人或者丧失劳动能力人敲诈勒索的；
4. 以将要实施放火、爆炸等危害公共安全犯罪或者故意杀人、绑架等严重侵犯公民人身权利犯罪相威胁敲诈勒索的；
5. 以黑恶势力名义敲诈勒索的；
6. 利用或者冒充国家机关工作人员、军人、新闻工作者等特殊身份敲诈勒索的；
7. 造成其他严重后果的。

四、法律后果与量刑

1. 犯罪未遂的量刑：对于敲诈勒索未遂犯，可以比照既遂犯从轻或者减轻处罚。具体量刑时，法院会综合考虑犯罪情节、危害后果、行为人的认罪态度等因素。

2. 罚金处罚：根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，构成敲诈勒索罪的，根据敲诈勒索的数额、手段、次数、危害后果等犯罪情节，综合考虑被告人缴纳罚金的能力，在二千元以上敲诈勒索数额的二倍以下决定罚金数额。

五、建议与应对措施

1. 及时报警：一旦遭遇敲诈勒索，应立即向公安机关报案，提供相关证据，以便警方及时调查处理。

2. 保留证据：在敲诈勒索过程中，应尽可能保留相关证据，如聊天记录、录音、转账记录等，以便后续维权使用。

3. 加强防范：企业和个人应加强安全防范措施，如安装监控设备、加强门禁管理等，以减少被敲诈勒索的风险。

综上所述，向被害人敲诈勒索1万元，但被害人仅给了一千元，该行为仍然构成犯罪。行为人可能面临刑事处罚和罚金处罚。因此，建议公众提高警惕，加强防范，一旦遭遇敲诈勒索，应及时报警并配合警方调查处理。如有任何法律问题，可以直接向我咨询。