商业承兑汇票到期后持票人放弃权利，将直接丧失对该汇票的追索权，无法再通过法律途径要求付款人支付汇票金额。以下是对此问题的详细分析：

一. 商业承兑汇票的基本性质

• 商业承兑汇票是一种由付款人承兑的、承诺在指定日期支付确定金额给收款人或持票人的票据。
• 汇票到期后，持票人有权要求付款人按照汇票上的金额进行支付。

二. 持票人放弃权利的法律后果

1. 丧失追索权：根据《票据法》的相关规定，持票人未在汇票到期日或法律规定的期限内行使权利的，将丧失对前手的追索权。这意味着，一旦持票人放弃权利，他就无法再通过法律途径要求付款人或其前手支付汇票金额。
2. 无法主张民事权利：放弃权利后，持票人也不能再基于汇票关系主张任何民事权利，如利息、违约金等。

• 例如，如果一张商业承兑汇票到期后，持票人因为某种原因没有要求付款人支付，那么在一定期限后，持票人就失去了通过法律手段要求付款的权利，自己承担了损失。

三. 对持票人的建议

• 及时行使权利：为了避免丧失权利，持票人应在汇票到期日或法律规定的期限内及时行使权利，要求付款人支付汇票金额。
• 保留证据：如果持票人因某种原因无法及时行使权利，应保留好相关证据，以便在未来可能发生的纠纷中维护自己的合法权益。

我建议持票人在商业承兑汇票到期后，务必及时行使权利，避免因为放弃权利而遭受不必要的损失。如有进一步需要，您可以继续咨询我。