虚假宣传的调查权主要属于市场监督管理部门以及监督检查部门。具体分析如下：

一. 市场监督管理部门

• 根据《中华人民共和国广告法》第五十五条，对于发布虚假广告的行为，由市场监督管理部门责令停止发布广告，并进行相应的处罚。这表明市场监督管理部门具有对虚假宣传行为进行调查和处理的权力。

二. 监督检查部门

• 根据《中华人民共和国反不正当竞争法》第二十条，经营者违反该法第八条规定进行虚假或者引人误解的商业宣传时，由监督检查部门责令停止违法行为，并进行罚款等处罚。这显示了监督检查部门在虚假宣传调查中的权威和责任。

我建议，如果你或你的企业面临虚假宣传的指控或需要举报虚假宣传行为，你应该首先联系当地的市场监督管理部门或监督检查部门，以获取更具体的指导和帮助。如有进一步需要，您可以继续咨询我。