律师申请刑事立案监督的法律依据主要来源于《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释和规范性文件。以下是对这些法律依据的详细解析：
一、《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定
第八十七条（虽未直接提及立案监督，但为整体监督框架的一部分）：
- 该条款主要规定了公安机关提请批准逮捕的程序，但间接体现了人民检察院对公安机关刑事活动的监督权，包括立案阶段的监督。不过，更直接相关的立案监督条款是后续的第一百一十三条。
第一百一十二条：
- 明确了人民法院、人民检察院或者公安机关对于报案、控告、举报和自首的材料，应当按照管辖范围迅速进行审查。认为有犯罪事实需要追究刑事责任的时候，应当立案；认为没有犯罪事实，或者犯罪事实显著轻微，不需要追究刑事责任的时候，不予立案，并将不立案的原因通知控告人。控告人如果不服，可以申请复议。这一条款为立案监督提供了基础，即控告人有权对不予立案的决定提出异议。
第一百一十三条：
- 直接规定了人民检察院对公安机关立案活动的监督权。具体内容为：人民检察院认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查的，或者被害人认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查，向人民检察院提出的，人民检察院应当要求公安机关说明不立案的理由。人民检察院认为公安机关不立案理由不能成立的，应当通知公安机关立案，公安机关接到通知后应当立案。这是律师申请刑事立案监督最直接、最核心的法律依据。
二、《人民检察院刑事诉讼规则》的相关规定
第五百五十七条：
- 规定了被害人及其法定代理人、近亲属或者行政执法机关，认为公安机关对其控告或者移送的案件应当立案侦查而不立案侦查，或者当事人认为公安机关不应当立案而立案，向人民检察院提出的，人民检察院应当受理并进行审查。这一条款明确了人民检察院受理立案监督申请的范围和程序。
第五百五十八条至第五百六十一条：
- 详细规定了人民检察院负责控告申诉检察的部门受理对公安机关应当立案而不立案或者不应当立案而立案的控告、申诉后的处理程序，包括根据事实、法律进行审查，认为需要公安机关说明不立案或者立案理由的，应当及时将案件移送负责捕诉的部门办理；认为公安机关立案或者不立案决定正确的，应当制作相关法律文书，答复控告人、申诉人；以及人民检察院要求公安机关说明不立案或者立案理由的具体程序和要求等。这些条款为律师申请刑事立案监督提供了具体的操作指南。
三、其他相关司法解释和规范性文件
- 除了上述法律和规则外，还有一些司法解释和规范性文件也涉及刑事立案监督的内容，如《最高人民检察院公安部关于刑事立案监督有关问题的规定（试行）》等。这些文件进一步细化了刑事立案监督的程序和要求，为律师申请刑事立案监督提供了更多的依据和指导。
法律建议：
- 作为律师，在申请刑事立案监督时，应首先仔细审查案件材料，确认公安机关是否存在应当立案而不立案或不应立案而立案的情形。
- 然后，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》和《人民检察院刑事诉讼规则》的相关规定，准备充分的证据材料和申诉书，向人民检察院提出立案监督申请。
- 在申请过程中，应积极配合人民检察院的调查工作，提供必要的协助和支持。
可能后果：
- 如果人民检察院认为公安机关不立案理由不能成立，将通知公安机关立案。公安机关在接到通知后，必须在规定期限内决定立案，并将立案决定书送达人民检察院。
- 如果人民检察院认为公安机关立案或不予立案的决定是正确的，将制作相关法律文书答复控告人或申诉人。此时，律师可以与当事人沟通，解释法律程序和结果，并考虑其他法律途径来维护当事人的权益。
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