餐厅通常需要承担一定的责任，但具体责任大小需根据实际情况判断，没有发票并不影响责任的基本认定。以下从不同角度为您详细分析：

餐厅的责任

1. 安全保障义务： 根据《民法典》的相关规定，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。餐厅作为经营场所，其服务员在收拾餐桌时，应尽到合理的注意义务，避免损害客人的人身及财产安全。

2. 注意义务与保管责任：

   • 对于比较明显的、服务员应当能够发现的客人遗落物品，如果服务员未经查看就当作垃圾处理，造成客人财物损失的，餐厅按照过错程度理应承担相应的赔偿责任。
   • 在您描述的情况中，戒指被放在桌子上，如果戒指的放置位置并不隐蔽，服务员在收拾桌子时应当能够发现，那么餐厅就未尽到合理的注意义务，需要承担一定的赔偿责任。

3. 免责条款的无效性： 一些餐厅可能会在用餐区张贴“物品遗失概不负责”的提醒，但这样的免责提醒实则无效。餐厅不能通过单方面的声明来免除其应尽的安全保障义务。

顾客的责任

1. 合理保管义务： 顾客作为物品所有人，有对自己的财物进行合理保管的义务。如果顾客将贵重物品随意放置，且未采取必要的保管措施，导致物品遗失，那么顾客自身也需要承担一定的责任。

2. 证据保留： 在发生物品遗失时，顾客要有保留证据的意识。虽然您提到没有发票，但您仍然可以尝试通过其他方式证明戒指的存在和价值，比如提供购买戒指的凭证（如转账记录、聊天记录等）、戒指的照片或描述、以及餐厅的消费凭证等。这些证据将有助于您在后续维权过程中证明自己的损失。

维权建议

1. 与餐厅协商： 您可以首先尝试与餐厅进行协商，看是否能够达成一个双方都能接受的赔偿方案。

2. 寻求调解： 如果协商不成，您可以请求消费者协会或依法成立的其他调解组织进行调解。

3. 提起诉讼： 如果调解也不成，或者您对调解结果不满意，您可以收集相关证据，依法向人民法院提起诉讼，要求餐厅承担相应的赔偿责任。

特殊情况考虑

• 如果戒指放置位置隐蔽： 如果戒指被放在了一个非常隐蔽的位置，服务员不可能发现，也不应该发现，那么此时物品被当作垃圾丢弃，餐厅原则上无需承担责任。但这种情况需要具体分析，且餐厅需要证明其服务员在收拾桌子时已经尽到了合理的注意义务。

• 如果餐厅已尽提醒义务： 如果餐厅已在明显位置张贴了相关提醒，且能证明服务员在顾客离店时进行了“带好个人物品”的提示，那么一定程度上也能减轻餐厅的责任。但这样的提醒并不能完全免除餐厅的责任，因为餐厅仍然需要尽到合理的注意义务。