在空置土地上建体育馆是否违法，不能一概而论，需要分情况讨论：

1. 土地性质与规划：

   • 如果该空置土地属于建设用地，并且根据当地的城乡规划，该地块被规划为体育设施用地或允许建设体育馆，那么在此土地上建设体育馆是合法的。但即便如此，建设前也需依法办理相关的规划许可、施工许可等手续。
   • 如果该空置土地属于农用地（如耕地、林地等），或者虽然属于建设用地但未被规划为体育设施用地，那么在此土地上擅自建设体育馆则可能违反土地管理法和城乡规划法，面临被责令拆除、罚款等法律后果。

2. 土地使用权归属：

   • 即便土地性质符合建设要求，如果建设者没有该土地的使用权，或者未经土地使用权人同意擅自建设，也构成侵权，需要承担相应的法律责任。
   • 如果建设者通过合法方式取得了土地使用权，并且按照规划要求进行建设，那么建设行为则是合法的。

3. 建设手续与合规性：

   • 无论土地性质如何，建设体育馆都需要依法办理一系列的手续，包括但不限于规划许可、施工许可、环保审批等。如果未办理相关手续或手续不全，即使土地性质和使用权都合法，也可能因违反建设程序而面临法律风险。
   • 此外，建设过程中还需遵守建筑安全、消防安全等相关规定，确保体育馆的建设质量和使用安全。

法律建议：

• 在考虑在空置土地上建设体育馆前，务必先查明土地的性质、规划用途以及土地使用权归属情况。
• 依法办理相关的规划许可、施工许可等手续，确保建设行为的合法性。
• 如果对土地性质、规划用途或建设手续有疑问，建议咨询当地国土资源部门、规划部门或建设部门，以获取准确的信息和指导。

可能的法律后果：

• 如果未经批准擅自建设体育馆，可能面临被责令停止建设、限期拆除、罚款等行政处罚。
• 如果建设行为侵犯了他人的土地使用权或其他合法权益，还可能面临民事赔偿等法律责任。

因此，在决定在空置土地上建设体育馆前，请务必谨慎评估法律风险，并依法办理相关手续。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。