医务人员私自销毁疫苗属于违法行为，需根据具体情节承担相应的法律责任，具体处理方式如下：

1. 行政责任
   根据《疫苗管理法》第八十五条，医务人员若违反规定销毁疫苗，可能面临卫生健康主管部门的行政处罚，包括警告、没收违法所得、罚款（个人最高可达二十万元，单位最高可达一百万元），情节严重的还可能被吊销执业证书。若涉及医疗机构，其直接负责的主管人员和其他直接责任人员也可能被处罚。

2. 刑事责任
   若销毁疫苗的行为导致传染病传播、流行，或造成其他严重后果，可能构成《刑法》第三百三十条规定的“妨害传染病防治罪”，处三年以下有期徒刑或拘役；后果特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑。若销毁行为伴随伪造、变造文件等行为，还可能涉及其他罪名。

3. 民事责任
   因销毁疫苗导致接种者健康受损的，医务人员或医疗机构需承担民事赔偿责任，包括医疗费、误工费、残疾赔偿金等。若疫苗本身存在质量问题，生产商也可能被追责。

处理流程建议：

• 发现此类行为后，应立即向当地卫生健康主管部门或公安机关举报；
  
• 保留相关证据（如疫苗销毁记录、监控录像、证人证言等）；
  
• 若涉及自身权益受损，可同步提起民事诉讼要求赔偿。
  

特别提示：疫苗管理涉及公共安全，医务人员必须严格遵守法定程序。如有具体案件细节需进一步分析，可直接向我咨询。