在舅舅没有子女的情况下，其法定继承人主要根据是否存在有效遗嘱或遗赠扶养协议，以及法定继承顺序来确定。以下是对此问题的详细分析：
一、存在有效遗嘱或遗赠扶养协议的情况
遗嘱继承：
- 明确结论：若舅舅生前立下了合法有效的遗嘱，并明确指定了财产的继承人，那么该财产将按照遗嘱的内容进行分配。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人可以立遗嘱处分个人财产，并可以指定遗嘱执行人。遗嘱继承优先于法定继承。
- 举例说明：如果舅舅在遗嘱中写明将某处房产留给其外甥，则外甥有权依据遗嘱继承该房产。
遗赠扶养协议：
- 明确结论：若舅舅与他人签订了遗赠扶养协议，且扶养人承担了舅舅的生养死葬义务，那么在舅舅去世后，扶养人有权按照协议接受其财产。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人可以与继承人以外的组织或者个人签订遗赠扶养协议。按照协议，该组织或者个人承担该自然人生养死葬的义务，享有受遗赠的权利。
- 举例说明：如果舅舅与邻居签订了遗赠扶养协议，并由邻居照顾至去世，则邻居可以根据协议获得舅舅的财产。
二、不存在有效遗嘱或遗赠扶养协议的情况
在舅舅未留下有效遗嘱或遗赠扶养协议的情况下，其财产将按照法定继承顺序进行分配。具体顺序如下：
配偶继承：
- 明确结论：首先，如果舅舅有配偶且在世，那么配偶将是首要继承人。除非存在其他特殊的法律安排，否则财产将归配偶所有。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的规定，配偶是第一顺序继承人之一。
父母继承：
- 明确结论：若舅舅没有配偶或者配偶已经去世，那么下一位继承人将是他的父母。如果父母双方都在世，他们将共同继承舅舅的财产；如果只有一方在世，那么在世的一方将独自继承。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的规定，父母也是第一顺序继承人之一。
兄弟姐妹继承：
- 明确结论：若舅舅的配偶和父母均已去世，或不存在其他第一顺序继承人，则由第二顺序继承人（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）继承。在大多数情况下，如果舅舅没有子女，且配偶和父母也已不在世，那么其兄弟姐妹将成为法定继承人。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的规定，兄弟姐妹是第二顺序继承人之一。当第一顺序继承人不存在时，第二顺序继承人将继承财产。
- 特殊情况：如果舅舅的兄弟姐妹先于舅舅去世，且他们的子女（即舅舅的侄子女、外甥子女）仍健在，则这些侄子女、外甥子女有权代位继承舅舅的财产。代位继承一般只能继承被代位继承人有权继承的遗产份额。
三、无人继承又无人受遗赠的特殊情况
- 处理原则：若舅舅既没有继承人，也没有受遗赠人，或者继承人都放弃继承、受遗赠人放弃受遗赠，那么舅舅的遗产将归国家所有，用于公益事业；若舅舅生前是集体所有制组织成员的，则归所在集体所有制组织所有。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，无人继承又无人受遗赠的遗产，归国家所有，用于公益事业；死者生前是集体所有制组织成员的，归所在集体所有制组织所有。
总结来看，在舅舅没有子女的情况下，其财产的继承将首先遵循遗嘱继承优先原则；若无遗嘱，则按照法定继承规则进行分配，并考虑代位继承的特殊情况。在处理舅舅财产继承问题时，应严格遵守相关法律法规，确保财产分配的公正、合法与有效。如果您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。