当公司雇佣的司机在开车时发生交通事故时，处理流程可以归纳为以下几个关键步骤，以确保问题得到妥善解决并减少法律纠纷：
一、明确事故责任
依据交通部门认定：首先，需要等待交通部门出具的事故责任认定书。这份认定书将依据各方的过错程度来划分责任，是后续处理的重要依据。
雇主责任与追偿：如果司机在驾驶过程中存在过错并引发了车祸，雇主在承担相应的赔偿责任后，有权依据雇佣合同向司机追偿一部分或全部损失。但这一追偿权的前提是司机存在故意或重大过失。
二、及时赔偿受害方
合理费用赔付：雇主应及时对受害方进行赔偿，包括但不限于医疗费、误工费、护理费等合理费用。赔偿金额应根据实际损失情况来确定，确保受害方的合法权益得到保障。
避免纠纷扩大：妥善处理赔偿事宜，积极与受害方沟通，以防止法律纠纷进一步扩大。
三、通知保险公司并配合理赔
及时报案：雇主必须及时通知保险公司，并按照保险公司的要求提供相关的事故信息和证据材料。
配合理赔调查：积极配合保险公司开展理赔调查工作，确保理赔流程顺利进行。保险公司将按照保险合同的约定来进行赔偿。
四、处理司机无过错或部分过错的情况
雇主仍需担责：如果司机没有过错或仅仅存在部分过错，雇主仍然需要承担部分的赔偿责任。但此时，雇主可以向保险公司主张相应的赔偿权益，以减轻自身的经济负担。
法律条款依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，个人之间形成劳务关系时，提供劳务一方因劳务造成他人损害的，由接受劳务一方承担侵权责任。但接受劳务一方在承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的提供劳务一方追偿。
五、特殊情况处理
职务行为致害：如果司机在从事雇佣活动中发生车祸致他人损害，雇主应承担赔偿责任。这里的“从事雇佣活动”指的是执行职务或与职务有内在关联的行为。
选任、指示过失：如果雇主对司机选任有过错（如未审查驾驶资质等），或指示司机从事违法或明显危险行为，雇主也需要承担相应的责任。
车辆问题：如果因雇主提供的车辆存在故障等缺陷导致车祸，雇主同样可能需要承担责任。
六、预防措施与建议
加强司机培训：定期对司机进行交通安全和驾驶技能培训，提高司机的安全意识和驾驶水平。
完善车辆维护：定期对车辆进行维护和检查，确保车辆处于良好的运行状态，减少因车辆故障引发的事故风险。
购买足额保险：为车辆购买足额的交强险和商业三者险，以在发生事故时能够得到充分的保险保障。
综上所述，当公司雇佣的司机发生交通事故时，雇主应首先明确事故责任，及时赔偿受害方，通知保险公司并配合理赔，同时妥善处理司机无过错或部分过错的情况。此外，雇主还应采取预防措施，减少事故风险的发生。