可以起诉。如果一方已经支付了一部分抚养费，但仍有部分未支付，另一方仍有权针对未支付的部分提起诉讼。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据

根据《民法典》等相关法律规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。离婚后，不直接抚养子女的一方应负担部分或者全部抚养费。如果一方未按约定或判决足额支付抚养费，另一方有权要求其支付拖欠的费用。

二、起诉条件与证据

1. 起诉条件：当一方未足额支付抚养费时，另一方可以基于双方之前的约定（如离婚协议）或法院的判决，向有管辖权的法院提起诉讼，要求对方支付拖欠的抚养费。

2. 所需证据：

   • 支付凭证：证明对方已经支付的部分抚养费，以及未支付的部分。
   • 子女开销证明：如医疗费用清单、教育费用发票、生活开支记录等，证明子女的实际需求和未支付抚养费对子女生活的影响。
   • 其他相关证据：如双方沟通记录、对方经济状况证明等，有助于法院了解案件背景和双方情况。

三、法院审理与判决

1. 审理过程：法院会依法进行审理，综合考虑子女的实际需要、父母双方的负担能力和当地的实际生活水平等因素，来判定抚养费数额和支付方式。

2. 判决结果：

   • 如果支付方无合理抗辩理由（如经济状况严重恶化等法定情形），法院通常会支持起诉方要求足额给付的诉求。
   • 如果支付方有合理理由导致无力全额支付，法院会根据具体情况酌情调整抚养费数额。

四、后续执行与保障

1. 执行问题：如果胜诉后对方仍不履行判决，起诉方可以申请法院强制执行，以确保子女的合法权益得到保障。

2. 保障措施：法院在执行过程中会优先考虑未成年子女的权益，确保抚养费能够及时、足额地支付给直接抚养方，以保障子女的基本生活和成长需求。

五、特殊情况下的处理

1. 随着孩子成长需求变化：如果随着孩子成长，生活和教育成本大幅增加，原定抚养费无法满足实际需求，起诉方可以要求增加抚养费数额。

2. 支付方经济状况改善：如果支付方经济状况明显改善，有能力承担更多抚养费，起诉方也可以要求调整抚养费数额。

建议：在起诉前，建议直接抚养方与支付方进行沟通，尝试通过协商解决问题。如果协商无果，再考虑通过法律途径解决。同时，在起诉过程中要准备好相关证据，以便更好地维护自身和子女的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。