结论：男方在发现孩子非亲生后，一般不具备对该孩子的法定抚养权，但需根据具体情况分析其是否仍需承担抚养责任。
一、法定抚养权的丧失
血缘关系与抚养权：
- 根据我国法律，父母对子女的抚养权主要基于血缘关系或法律上的拟制血亲关系（如收养）。在协议离婚中，若双方约定共同抚养孩子，这一约定原本是基于双方均为孩子生物学父母的假设。
- 当男方通过亲子鉴定发现孩子并非自己亲生时，其与孩子之间的血缘关系不存在，因此，从法律上讲，男方不再具备对该孩子的法定抚养权。
协议离婚的约定效力：
- 协议离婚中的共同抚养约定，在双方均为孩子生物学父母的前提下是有效的。但一旦发现孩子非亲生，该约定的基础即发生动摇。
- 男方可以主张撤销或变更原共同抚养的约定，因为这一约定已无法反映双方的真实意愿和法律关系。
二、抚养责任的承担
道德义务与法律责任的区别：
- 虽然男方在法律上不再具备抚养权，但从道德层面讲，如果男方在不知情的情况下已经对孩子承担了抚养责任，且孩子与男方之间建立了深厚的感情联系，男方可能会选择继续承担部分或全部抚养责任。
- 然而，这种继续抚养的行为并不构成法律上的抚养义务，而是基于个人情感和道德选择的自愿行为。
可能的法律后果：
- 如果男方选择不再承担抚养责任，而孩子的生父或生母又无法履行抚养义务，孩子可能会面临生活困境。此时，社会福利机构或相关政府部门可能会介入，为孩子提供必要的帮助和保护。
- 如果男方在知情后仍继续抚养孩子，并因此产生了额外的经济支出或精神损害，男方有权向孩子的生父或生母追偿相关费用或要求赔偿精神损失。但这一追偿过程可能较为复杂，需要依据具体证据和法律规定进行。
三、建议与后续行动
法律咨询与证据收集：
- 男方在发现孩子非亲生后，应首先咨询专业律师，了解自己的法律权利和义务。
- 同时，男方应收集相关证据，如亲子鉴定报告、协议离婚文件等，以备后续法律程序之需。
协商与诉讼：
- 男方可以尝试与孩子的生父或生母进行协商，就孩子的抚养问题达成新的协议。
- 如果协商无果，男方可以通过法律途径解决争议，如提起诉讼要求变更抚养关系或追偿相关费用。
关注孩子利益：
- 在整个过程中，男方应始终关注孩子的利益和福祉，尽量减少对孩子造成的伤害和影响。
总结：男方在发现孩子非亲生后，一般不具备对该孩子的法定抚养权。然而，是否继续承担抚养责任以及如何承担，需根据具体情况和男方的个人选择来决定。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。