可以起诉赔偿。当相邻的违章建筑被邻居损坏时，若该违章建筑的存在本身已经侵犯了您的相邻权（如影响采光、通风、通行等），并且邻居的损坏行为进一步给您造成了损失，那么您完全有权通过法律途径起诉邻居，要求其赔偿因此造成的损失。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、法律依据
《中华人民共和国民法典》中关于相邻权的规定：
- 第二百八十八条：不动产的相邻权利人应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系。若邻居的违章建筑影响了您的相邻权益，即违反了这一规定。
- 第二百九十三条：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，不得妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照。这是判断邻居行为是否构成侵权的重要法律依据。
《中华人民共和国城乡规划法》中关于违章建筑的规定：
- 第六十四条：未取得建设工程规划许可证或者未按照建设工程规划许可证的规定进行建设的，由县级以上地方人民政府城乡规划主管部门责令停止建设；尚可采取改正措施消除对规划实施的影响的，限期改正，处建设工程造价百分之五以上百分之十以下的罚款；无法采取改正措施消除影响的，限期拆除，不能拆除的，没收实物或者违法收入，可以并处建设工程造价百分之十以下的罚款。这为处理违章建筑提供了明确的法律程序，同时也表明了违章建筑是不被法律所允许的。
二、起诉前的准备
收集证据：
- 拍摄违章建筑被损坏前后的照片和视频，以证明其存在以及被损坏的情况。
- 收集因违章建筑被损坏而给您造成损失的证据，如维修费用发票、因无法使用而产生的额外费用等。
- 如果有目击者，可以请其提供证人证言，以证明邻居的损坏行为。
确定管辖法院：
- 一般是向不动产所在地的基层人民法院提起诉讼，因为不动产纠纷由不动产所在地法院专属管辖。
撰写并提交起诉状：
- 明确原告和被告的基本信息。
- 详细阐述诉讼请求，即要求邻居赔偿因损坏违章建筑而给您造成的损失。
- 说明事实与理由部分，讲清邻居搭建违章建筑的过程、该建筑对您的相邻权带来的具体侵害情况，以及邻居的损坏行为如何进一步给您造成了损失。
- 附上前述收集的各类证据。
三、起诉后的流程
法院受理与审理：
- 法院受理案件后，会安排开庭审理。
- 在庭审过程中，双方当事人可以进行举证、质证、辩论等环节。
- 法院会根据事实和法律作出判决。如果判决支持您的诉讼请求，即邻居需要赔偿您的损失，而邻居不履行判决，您可以申请强制执行。
执行判决：
- 如果邻居拒不履行判决义务，您可以向法院申请强制执行。
- 法院将依法采取强制措施，如查封、扣押、拍卖邻居的财产等，以迫使邻居履行赔偿义务。
四、注意事项与建议
在起诉前尝试协商与举报：
- 在起诉之前，建议首先尝试与邻居进行友好协商，看是否能通过和解的方式解决问题。这有助于维护邻里和谐，并可能更快地解决问题。
- 若协商无果，可向当地的城管部门或相关行政机关进行举报，请求他们依法处理这个违章建筑以及邻居的损坏行为。这是行政途径的解决方式，可能更为直接和高效。
在整个过程中保持冷静与理性：
- 面对邻居的违章建筑和损坏行为，保持冷静与理性至关重要。不要采取过激的行为或言语，以免加剧矛盾或引发不必要的法律纠纷。
寻求专业法律帮助：
- 如果您在整个过程中遇到任何法律问题或困惑，可以随时向我咨询。我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。
综上所述，当相邻的违章建筑被邻居损坏时，您完全有权通过法律途径起诉邻居要求赔偿。在整个过程中，请务必收集充分的证据、遵循正确的起诉流程，并保持冷静与理性。