履行职责申请书通常应提交给与该职责直接相关的上级部门或管理机构负责处理。具体来说，这取决于申请书的性质、目的以及所涉及的职责类型。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：

1. 根据职责类型确定负责部门

• 行政职责：如果履行职责申请书涉及的是行政职责，如政府部门的日常工作、政策执行等，那么申请书通常应提交给该部门的直接上级或相关行政管理部门。例如，如果是某市环保局的职责履行申请，可能需要提交给市环保局的上级部门——市生态环境局或市政府相关部门。
• 企业职责：在企业环境中，履行职责申请书可能涉及员工对工作职责、任务分配等方面的申请或反馈。这种情况下，申请书应提交给员工的直接上级或人力资源部门，以便进行职责调整或确认。
• 特定项目或任务职责：如果申请书涉及的是特定项目或任务的职责履行，那么负责部门可能是项目管理部门、任务执行团队或相关协调机构。

2. 根据申请书目的确定负责部门

• 请求指导或支持：如果申请书的目的是请求上级部门或专家提供指导、支持或资源，那么应提交给具有相应权限和资源的部门或机构。
• 反馈或报告：如果申请书是用于反馈职责履行情况、报告问题或提出改进建议，那么应提交给负责监督、评估或改进该职责的部门。
• 申请变更或调整：如果申请书是请求变更或调整职责范围、任务分配等，那么应提交给具有决策权的部门或管理层。

3. 实际操作建议

• 查阅内部规定：在提交履行职责申请书之前，建议先查阅所在组织或机构的内部规定、流程或指南，以了解正确的提交渠道和负责部门。
• 咨询相关部门：如果不确定应提交给哪个部门，可以咨询所在部门的人事、行政或相关管理部门，以获取准确的指导。
• 确保申请书内容清晰：无论提交给哪个部门，都应确保申请书内容清晰、具体，明确说明申请的目的、理由和期望结果，以便负责部门能够准确理解并作出回应。

4. 法律背景与建议

• 从法律角度来看，履行职责申请书是员工或组织内部成员表达诉求、请求指导或反馈情况的一种正式方式。虽然法律没有明确规定其必须提交给哪个部门，但根据组织内部的规章制度和流程，通常会有明确的提交渠道和负责部门。
• 建议：在提交履行职责申请书时，务必遵循所在组织或机构的内部规定和流程，确保申请书的合法性和有效性。如果有任何疑问或不确定，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。

综上所述，履行职责申请书应提交给与该职责直接相关的上级部门或管理机构负责处理。具体负责部门取决于申请书的性质、目的以及所涉及的职责类型。在提交之前，建议先查阅内部规定或咨询相关部门以确保准确性。