肇事者在此情况下，核心应做的是积极配合并妥善处理后续事宜，具体建议如下：
立即确认并履行保险义务
首先，肇事者应确认自己是否购买了机动车交通事故责任强制保险（交强险）及商业第三者责任险。若有保险，需第一时间联系保险公司报案，告知事故情况及伤者转院信息，确保保险理赔流程顺利启动。保险公司通常会指导后续材料提交及定损事宜。
与伤者或家属保持沟通，确认转院合理性
转院治疗需以伤者实际医疗需求为依据。肇事者可要求伤者或家属提供转院证明（如原医院出具的《病情证明书》或《转院建议书》），明确转院原因（如医疗条件限制、专科治疗需要等）。若伤者自行要求转院但无合理依据，可能影响后续赔偿责任的认定，此时建议通过书面形式（如短信、邮件）记录沟通内容，保留证据。
垫付费用需谨慎，保留凭证
若伤者因转院产生额外费用（如救护车费、新医院押金等），肇事者可根据实际情况垫付，但必须要求伤者或家属出具书面收据，并注明费用用途（如“用于XX转院治疗费用”）。同时，垫付前可与保险公司确认是否属于理赔范围，避免后续纠纷。若伤者要求垫付大额费用且超出保险限额，建议通过交警部门或第三方机构（如道路交通事故社会救助基金）协调，降低个人风险。
配合交警调查，固定事故责任
转院不影响事故责任认定。肇事者需配合交警完成《交通事故责任认定书》的签署，明确双方责任比例。若对责任认定有异议，应在收到认定书后3日内申请复核。责任认定是后续赔偿的核心依据，务必重视。
通过法律途径明确赔偿范围
转院后的医疗费、护理费、误工费等均可能纳入赔偿范围，但需符合“合理性、必要性”原则。例如，转院后的治疗项目应与事故伤情直接相关，且费用不得明显高于同类医疗机构的平均水平。若伤者主张高额赔偿，肇事者可要求其提供医疗费发票、用药清单、诊断证明等材料，并通过司法鉴定确认费用合理性。必要时，可委托律师介入谈判或诉讼。
总结：肇事者需以“配合治疗+保留证据+依法赔偿”为原则，既不可逃避责任，也需避免过度承担不合理费用。若过程中遇到伤者家属情绪激动或赔偿要求不明确，建议及时通过书面形式沟通，并保留所有相关凭证，必要时联系我进一步分析具体案情。