结论前置：针对医院开的请假条到期后仍需继续休息但公司不批的情况，可从以下角度分析和处理：

1. 核实请假条性质与法律依据
   首先需明确医院开具的请假条是否属于病假证明（如《病假建议书》《诊断证明书》等）。根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因患病或非因工负伤需停止工作医疗时，企业应根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予3-24个月的医疗期。医疗期内，企业不得解除劳动合同，且需按当地规定支付病假工资（通常不低于最低工资标准的80%）。

   • 若请假条为合法病假证明：公司无权拒绝延长病假申请，员工可要求公司按医疗期规定执行。
     
   • 若请假条仅为建议休息证明（如医生口头建议但未出具正式文件）：公司可能以“缺乏法律依据”为由拒绝，此时需补充正式病假证明。

2. 与公司沟通的要点

   • 书面提交材料：向公司提交续假申请时，需附上医院出具的最新病假证明（如诊断书、病历、检查报告等），明确说明病情需继续治疗或休养，并注明预计返岗时间。
     
   • 引用法规：在申请中可引用《劳动合同法》第42条（医疗期内不得解除合同）、《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》等条款，强调公司义务。
     
   • 协商解决方案：若公司仍拒绝，可提出折中方案（如远程办公、调整工时），或要求公司明确拒绝理由及依据。

3. 公司拒绝的合法性审查

   • 若公司拒绝理由为“无病假证明”：员工需补充材料，否则可能被认定为旷工。
     
   • 若公司拒绝理由为“超出医疗期”：需核实员工实际工作年限对应的医疗期时长。例如，工作10年以下的员工，在本单位工作5年以下的医疗期为3个月，5年以上的为6个月。若已超出法定医疗期，公司可依法解除合同，但需支付经济补偿金（N倍月薪）及医疗补助费（不低于6个月工资）。
     
   • 若公司拒绝理由为“虚假病假”：公司需举证证明员工存在伪造证明等行为，否则构成违法解除。

4. 维权途径

   • 向劳动监察部门投诉：若公司未支付病假工资或违法解除合同，可向当地劳动保障监察大队举报。
     
   • 申请劳动仲裁：主张公司支付病假工资差额、违法解除赔偿金（2N倍月薪）等。需准备证据：病假证明、工资条、劳动合同、公司拒绝通知等。
     
   • 诉讼：对仲裁结果不服的，可在15日内向法院起诉。

行动建议：

1. 立即联系医院补开正式病假证明，明确休息期限；
   
2. 书面提交续假申请，附证明材料并引用法规；
   
3. 若公司仍拒绝，保留沟通记录（邮件、录音等），向劳动监察部门投诉或申请仲裁；
   
4. 医疗期内尽量避免自行离职，否则可能丧失赔偿权利。
   

如有进一步细节（如医疗期时长、公司拒绝的具体理由等），可直接向我咨询，我将结合具体情形提供法律意见。