结论前置：在工伤劳动仲裁立案后，若与单位协商赔偿成功，应当及时通知律师。这一做法既是对律师工作的尊重，也是确保自身权益得到全面保障的重要步骤。

一、从律师工作角度考虑

律师在工伤劳动仲裁案件中扮演着重要角色，他们负责收集证据、准备法律文件、代表当事人出庭等。在立案后，律师已经投入了大量的时间和精力来处理案件。如果当事人与单位协商赔偿成功，却不通知律师，这可能会让律师感到被忽视，甚至可能影响律师对后续案件处理的积极性。更重要的是，律师可能还掌握着一些对协商赔偿有重要影响的信息或策略，不通知律师可能会错过利用这些资源的机会。

二、从当事人权益保障角度考虑

1. 确保赔偿协议的合法性和有效性：律师可以审查赔偿协议的内容，确保其符合法律法规的规定，避免因协议内容违法或无效而导致当事人权益受损。
2. 提供法律建议：律师可以根据当事人的具体情况和赔偿协议的内容，提供针对性的法律建议，帮助当事人更好地维护自己的权益。
3. 处理后续事宜：如果赔偿协议履行过程中出现问题，律师可以代表当事人与单位进行沟通协商，甚至通过法律途径解决争议。

三、实际操作建议

1. 及时沟通：一旦与单位协商赔偿成功，应立即与律师取得联系，告知协商结果。
2. 提供相关资料：将赔偿协议、协商记录等相关资料提供给律师，以便律师进行审查和提供法律建议。
3. 遵循律师建议：根据律师的审查意见和法律建议，对赔偿协议进行必要的修改或补充，确保自身权益得到全面保障。

四、可能面临的法律后果

如果当事人不通知律师而自行与单位协商赔偿，可能会面临以下法律后果：

1. 赔偿协议无效：如果赔偿协议内容违法或无效，当事人可能无法获得应有的赔偿。
2. 权益受损：没有律师的参与和审查，当事人可能无法全面了解自己的权益和赔偿标准，导致权益受损。
3. 后续争议：如果赔偿协议履行过程中出现问题，当事人可能因缺乏法律支持而难以解决争议。

总结与建议：在工伤劳动仲裁立案后与单位协商赔偿成功时，及时通知律师是非常重要的。这不仅可以确保赔偿协议的合法性和有效性，还可以为当事人提供全面的法律保障。因此，建议当事人在协商赔偿成功后，立即与律师取得联系并遵循律师的建议进行处理。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。