当刑事案件不成立时，其结案方式会根据案件所处的不同阶段而有所区别。以下是对这一问题的详细解答：

一、侦查阶段

在侦查阶段，如果公安机关经过深入调查后，发现犯罪嫌疑人其实并不需要被追究刑事责任，例如因为证据不充分无法证明犯罪行为是其所为，或者犯罪行为并未发生等情况，按照法律规定，公安机关应当撤销这个案件。这意味着公安机关将不再对该案件继续进行侦查。

具体情形：

• 犯罪嫌疑人不在犯罪现场，有充分的不在场证据。
• 案件证据存在重大瑕疵，无法证明犯罪嫌疑人有罪。

处理方式：

• 公安机关撤销案件。
• 如果犯罪嫌疑人已被逮捕，应立即释放，并发给释放证明。

二、审查起诉阶段

到了审查起诉阶段，如果检察院经过审查认为犯罪嫌疑人实际上没有实施犯罪事实，或者存在《刑事诉讼法》第十六条规定的情形（如情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪等），此时人民检察院应当作出不起诉决定。另外，如果犯罪情节比较轻微，根据刑法规定不需要判处刑罚或者可以免除刑罚的，检察院也可以自主决定作出不起诉决定。

具体情形：

• 犯罪嫌疑人没有犯罪事实。
• 犯罪情节轻微，不需要判处刑罚或可以免除刑罚。

处理方式：

• 检察院作出不起诉决定。
• 如果被不起诉人在押，应立即释放。
• 被查封、扣押、冻结的财物要解除相关措施。

三、审判阶段

到了审判阶段，法院会依据法律和实际查明的事实进行判断。如果法院认为被告人是无罪的，比如因为证据无法形成完整链条证明被告人有罪等，法院就会作出无罪判决。

具体情形：

• 证据不足，无法证明被告人有罪。
• 法院经审理认为被告人不构成犯罪。

处理方式：

• 法院作出无罪判决。
• 如果被告人被羁押，应立即释放。

四、国家赔偿

如果当事人因为错误追诉而遭受了精神和经济损失，他们有权依法申请国家赔偿。这通常发生在案件被撤销、不起诉或判无罪后，当事人认为自己的合法权益受到了侵害。

申请条件：

• 当事人因错误追诉遭受了损失。
• 有证据证明自己的损失与错误追诉有直接关系。

申请方式：

• 向有关机关提出国家赔偿申请。
• 提供相关证据和材料。

综上所述，刑事案件不成立时的结案方式会根据案件所处的不同阶段而有所区别。无论是侦查阶段、审查起诉阶段还是审判阶段，都有相应的法律规定和处理方式来保障当事人的合法权益。如果当事人因错误追诉而遭受了损失，他们还有权依法申请国家赔偿。