刑事诉讼中提审的适用条件主要包括以下几点：
原判决、裁定认定事实正确但适用法律错误：
- 当原审法院在案件事实认定上无误，但在法律适用上出现偏差，导致判决或裁定结果不当时，上级法院有权提审以纠正法律适用错误。例如，原审法院错误地将某一犯罪行为定性为另一种较轻的犯罪，因两者在法律后果上有显著差异，上级法院可因此提审并更正罪名。
案件疑难、复杂、重大：
- 对于涉及新型犯罪手段、复杂证据链、众多当事人或长时间跨度等特征的疑难、复杂、重大案件，上级法院提审能更有效地确保审判质量和公正性。例如，一起涉及多国法律体系和庞大资金流的跨国经济犯罪案件，上级法院提审有助于统一法律适用标准，提高审判效率。
有不宜由原审人民法院审理的情形：
- 包括原审法院审判人员与案件有利害关系、存在外部干扰等因素，可能影响审判独立性和公正性的情况。例如，若原审法官系案件当事人的近亲属，或当地舆论对案件有强烈偏见，上级法院提审可避免潜在的不公。
原判决、裁定认定事实的主要证据不足：
- 原判决、裁定所依据的证据不足以支持其认定的事实，或者证据之间存在矛盾，无法形成完整的证据链。这种情况下，上级法院可能认为有必要提审以重新审查证据和事实。
违反法律规定的诉讼程序，可能影响公正审判：
- 原审过程中存在严重的程序违法问题，如剥夺了当事人的法定诉讼权利，未经开庭审理即作出判决等，这些问题可能影响了案件的公正审判。上级法院在发现此类问题时，可能会提审以纠正程序错误。
审判人员在审理该案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为：
- 如果审判人员在审理案件过程中存在贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等违法行为，将严重影响案件的公正性和司法的公信力。上级法院在发现此类严重违法行为时，有权提审以维护司法的公正和权威。
法律依据：
- 《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百五十四条明确规定，各级人民法院院长对本院已经发生法律效力的判决和裁定，如果发现在认定事实上或者在适用法律上确有错误，必须提交审判委员会处理。最高人民法院对各级人民法院已经发生法律效力的判决和裁定，上级人民法院对下级人民法院已经发生法律效力的判决和裁定，如果发现确有错误，有权提审或者指令下级人民法院再审。
建议与后果：
- 对于当事人而言，如果认为原审判决存在上述适用条件中的情形，可以向上级法院申请提审或提出申诉。上级法院在审查后，如果认为符合提审条件，将会依法提审并作出新的判决或裁定。
- 提审制度的存在，旨在确保案件审理的公正性、准确性和合法性。因此，当事人在面对原审判决不公时，应积极行使自己的权利，寻求上级法院的审查与纠正。
在实际操作中，每个案件的具体情况都有所不同，因此提审的适用也会因案而异。如果您对某个具体案件的提审适用条件有疑问，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。