当当事人不申请仲裁，而仲裁裁决或相关法律文书可能损害第三人利益时，第三人确实拥有相应的救济途径来维护自身权益。以下是一些详细的救济方法：
一、申请不予执行仲裁裁决
根据《中华人民共和国仲裁法》的相关规定，如果仲裁裁决可能损害第三人的利益，第三人有权向人民法院申请不予执行该仲裁裁决。法院在受理此类申请后，会仔细审查仲裁裁决，看其是否存在违背社会公共利益等法定情形。一旦发现存在此类情形，法院便会裁定不予执行该仲裁裁决，从而有效保障第三人的合法权益。
二、提出执行异议
在对方当事人申请执行仲裁裁决的过程中，第三人也可以向执行法院提出异议，请求不予执行该裁决。这为第三人提供了在执行阶段及时阻止可能对自己造成损害的仲裁裁决执行的机会。执行法院在收到异议后，会进行审查，并根据审查结果作出相应裁定。
三、另行起诉主张权益
如果仲裁裁决确实存在错误，且该错误对第三人的利益造成了损害，第三人还可以选择通过另行起诉的方式来主张自身权益。在另行起诉时，第三人需要依据具体的法律关系来提出诉讼请求，并提交相关证据以支持其主张。但需要注意的是，另行起诉存在诉讼时效等相关规定，第三人必须在规定的时间内采取行动，否则可能会丧失胜诉的机会。
四、特别提醒
及时行动：第三人一旦发现仲裁裁决可能损害自己的利益，应及时采取措施，通过上述救济途径来维护自身权益。避免因为疏忽或犹豫而错过最佳的维权时机。
准备充分：在申请不予执行仲裁裁决、提出执行异议或另行起诉时，第三人需要准备充分的证据来支持其主张。这些证据可能包括与仲裁裁决相关的文件、合同、交易记录等。
咨询专业律师：由于法律程序可能较为复杂，第三人在采取行动前最好咨询专业律师的意见。律师可以为第三人提供法律咨询、代理诉讼等服务，帮助第三人更好地维护自身权益。
综上所述，当当事人不申请仲裁而仲裁裁决可能损害第三人利益时，第三人可以通过申请不予执行仲裁裁决、提出执行异议或另行起诉等方式来维护自身权益。在采取行动时，第三人需要准备充分、及时行动，并咨询专业律师的意见。