结论前置：开车压死突然窜出来的公路上的狗，驾驶员是否需要承担责任，需根据具体情况来判断，一般可能涉及民事责任，但通常不构成刑事责任。
详细分析：
从刑事责任角度：
- 通常情况下，当驾驶者在正常行驶时，小狗突然出现在马路中间致使驾驶者无法避让而压死小狗，这种情形一般不会构成交通肇事罪等刑事责任。因为交通肇事罪通常要求行为人存在违反交通运输管理法规的行为，并且该行为导致了重大事故的发生，而在此情况下，驾驶员往往是无法预见并避免小狗的突然出现。
从民事责任角度：
- 驾驶员责任：如果驾驶员在行驶过程中存在超速、疲劳驾驶等过错行为，导致无法及时避让突然窜出的小狗，那么驾驶员可能需要承担一定的民事赔偿责任。赔偿范围可能包括小狗的购买价格、饲养成本以及可能的精神损失等。这些事宜可由双方进行协商解决，若协商不成，也可以通过诉讼的方式来处理。
- 狗主人责任：狗主人对小狗负有管理之责。如果因管理不善（如未拴绳、未在指定区域遛狗等）让小狗跑进马路被压死，那么狗主人自身也可能存在一定的过错。在这种情况下，驾驶员的赔偿责任可能会得到适当的减轻。
特殊情况的考量：
- 如果小狗是突然蹿出，且司机已经采取了合理的避让措施（如紧急刹车），但仍未能避免悲剧的发生，那么司机一般无需承担责任。因为这种情况属于意外事件，司机不存在过错。
- 如果司机发现小狗后有条件避让却未避让，或者小狗并非突然出现，而是在相对可预见的情况下出现在马路上，司机就可能需要承担一定的责任。责任比例通常要根据现场具体情形，如司机的车速、反应时间、小狗出现的突然程度等因素，由交警或法院综合判定。
法律建议：
- 如果不幸发生了这样的交通事故，驾驶员应立即停车，保护现场，并及时报警处理。这是法律规定的义务，也是减少后续法律纠纷和损失的关键步骤。
- 同时，驾驶员应尽可能与狗的主人进行协商，以达成赔偿协议。通过友好协商解决赔偿问题，可以避免不必要的法律诉讼和额外的费用支出。
- 如果双方对责任认定或赔偿事宜存在争议，可以寻求法律援助或咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。
可能法律后果：
- 如果驾驶员被认定存在过错并需要承担赔偿责任，那么可能需要按照狗的实际价值以及相关损失对狗主人进行赔偿。
- 如果驾驶员选择逃逸，那么可能会面临更严重的法律后果，包括交通肇事逃逸的法律处罚以及可能的刑事责任（如果逃逸行为导致了更严重的后果）。
综上所述，开车压死突然窜出来的公路上的狗，驾驶员是否需要承担责任需根据具体情况来判断。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。