核心前提与问题重述：用户面临两个未成年子女的抚养困境，其中一方监护人因刑事犯罪被羁押，另一方因经济能力不足无法独立承担抚养责任。需从法律救济、社会救助、监护权变更等角度综合分析解决方案。

1. 法律救济途径

（1）申请国家司法救助
根据《关于建立完善国家司法救助制度的意见（试行）》，若监护人因犯罪行为导致家庭陷入生活困难，且无其他经济来源，可向当地政法委或法院申请司法救助金。需提交材料包括：

• 刑事判决书（证明监护人被羁押事实）；
  
• 家庭经济状况证明（如低保证明、收入证明）；
  
• 子女身份证明及抚养需求说明。
  

（2）起诉要求变更抚养权或增加抚养费
若另一方监护人（如父母、祖父母、外祖父母）有抚养能力但拒不履行义务，可依据《民法典》第1067条、第1075条提起诉讼：

• 要求有负担能力的亲属承担抚养义务：如祖父母、外祖父母在父母无力抚养时，有义务抚养未成年孙子女；
  
• 追索抚养费：若非直接抚养方未支付抚养费，可要求其按收入比例支付（通常为月收入的20%-30%）。
  

2. 社会救助与福利支持

（1）申请最低生活保障（低保）
向户籍所在地民政部门提交申请，需满足以下条件：

• 家庭人均收入低于当地最低生活保障标准；
  
• 子女为未成年人或无法独立生活的成年人。
  

（2）儿童福利机构临时监护
若家庭确实无力抚养且无亲属可依托，可依据《未成年人保护法》第92条，由民政部门设立的儿童福利机构对未成年人进行临时监护，直至家庭状况改善或安排其他监护方式。

3. 监护权变更的特殊情形

（1）指定监护人
若父母均丧失监护能力（如一方坐牢、另一方无抚养能力），可由居民委员会、村民委员会或民政部门指定监护人，优先顺序为：

1. 祖父母、外祖父母；
   
2. 兄、姐；
   
3. 其他愿意担任监护人的个人或组织（需经被监护人住所地的居委会、村委会或民政部门同意）。
   

（2）撤销监护人资格
若直接抚养方存在严重侵害未成年人权益的行为（如虐待、遗弃），可依据《民法典》第36条向法院申请撤销其监护人资格，并指定新的监护人。

4. 实际操作建议

1. 优先联系当地民政部门：了解低保、临时救助等政策，并申请儿童福利机构介入；
   
2. 收集证据材料：包括刑事判决书、收入证明、子女需求说明等，为后续诉讼或救助申请做准备；
   
3. 咨询律师协助：若涉及抚养权变更、抚养费追索等法律程序，可进一步向我咨询具体操作流程。
   

总结：当前困境可通过法律救济（司法救助、诉讼）、社会救助（低保、福利机构）及监护权调整（指定监护人、撤销资格）多途径解决。建议优先联系当地民政部门启动救助程序，同时准备法律材料以维护子女权益。如有进一步问题，可直接向我咨询具体法律操作。