当检察院对公安机关提请立案的案件作出不予立案的决定后，公安机关的处理方式主要遵循以下步骤和原则：
一、理解不予立案决定
首先，公安机关需要明确检察院不予立案的具体理由。这通常基于检察院对案件证据、事实或法律适用的审查，认为案件不符合立案条件。
二、公安机关的应对措施
接受并审查决定：
- 公安机关在收到检察院的不予立案决定后，应认真审查决定内容，理解不予立案的具体理由。
申请复议（如认为有误）：
- 若公安机关认为检察院的不予立案决定有误，可以在收到决定书后的一定期限内（通常是7日内），制作要求复议意见书，并经县级以上公安机关负责人批准后，移送同级人民检察院复议。
- 复议过程中，公安机关应提供充分的证据和理由，以支持其认为案件应立案的观点。
执行复议结果或提请复核：
- 如果检察院在复议后维持了不予立案的决定，公安机关应执行该决定。
- 若公安机关对复议结果仍不服，可以在收到复议决定书后的一定期限内（通常是7日内），制作提请复核意见书，并经县级以上公安机关负责人批准后，连同复议决定书一并提请上一级人民检察院复核。
后续处理：
- 对于在侦查过程中查封、扣押、冻结的财物及其孳息，公安机关应根据检察院的不予立案决定，依法作出相应处理，如解除查封、扣押、冻结等。
- 如果案件涉及被不起诉人，且被不起诉人需要接受行政处罚等其他处理，公安机关应提出检察意见并移送主管机关。
三、法律依据与程序合规
- 公安机关在处理检察院不予立案决定时，应严格遵守《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释的规定，确保程序合规。
- 公安机关应尊重检察院的独立审查权，同时也有权在认为决定有误时申请复议或复核，以维护司法公正和当事人的合法权益。
四、实际案例参考
以小许向公安机关报案称小胡对其实施诈骗为例，如果公安机关审查后决定不予立案，而小许不服并向检察院提出申诉，检察院审查后通知公安机关立案，但公安机关认为不应立案时：
- 公安机关需在7日内制作《不立案理由说明书》，并经县级以上公安机关负责人批准后送达检察院。
- 如果检察院认为公安机关不立案理由不能成立，会发出《通知立案书》并移送相关证明材料。此时，公安机关应在15日内决定立案并送达立案决定书，或者坚持不立案并说明理由。
- 如果公安机关坚持不立案，且经检察院复议维持不立案决定的，公安机关应执行该决定。
综上所述，当检察院不予立案后，公安机关应认真审查决定内容，如认为有误可申请复议或复核，并严格遵守相关法律法规和程序要求，确保案件处理的合法性和公正性。