针对您提出的“孤寡老人的监护人是亲妹妹，且没有第一顺序继承人时，妹妹能否继承遗产”的问题，我们可以从以下几个方面进行详细分析：

一、法定继承顺序

首先，我们需要明确我国民法典中关于法定继承顺序的规定。根据民法典，遗产按照下列顺序继承：

1. 第一顺序：配偶、子女、父母。
2. 第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。

继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。

二、孤寡老人的继承情况

在您描述的情境中，孤寡老人没有配偶、子女，父母也已离世，即没有第一顺序继承人。此时，若老人有兄弟姐妹，则兄弟姐妹作为第二顺序继承人，有权继承遗产。但您提到的是老人的亲妹妹作为监护人，且并未直接说明老人是否有其他兄弟姐妹。若老人只有亲妹妹一个兄弟姐妹，那么在老人去世后，其遗产应由亲妹妹继承。

三、监护人的角色与继承权

监护人的主要职责是保护被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益。在您描述的情境中，亲妹妹作为监护人，并不直接因其监护人身份而获得继承权。继承权是基于法定继承顺序或遗嘱而产生的，与监护人身份无直接关联。因此，亲妹妹能否继承遗产，取决于她是否属于法定继承人范围。

四、特殊情况下的遗产处理

若老人既没有第一顺序继承人，也没有第二顺序继承人（如您所述，可能只有亲妹妹一个兄弟姐妹，但此处我们考虑更一般的情况），则根据民法典第一千一百六十条的规定，无人继承又无人受遗赠的遗产，归国家所有，用于公益事业。然而，在您描述的情境中，由于亲妹妹作为第二顺序继承人存在，因此这一条款并不直接适用。

五、结论与建议

综上所述，若孤寡老人没有第一顺序继承人，且其亲妹妹是唯一的第二顺序继承人，则亲妹妹有权继承老人的遗产。监护人的身份并不影响其作为法定继承人的权利。

建议：

1. 若老人有明确的遗嘱，应按照遗嘱进行遗产分配。
2. 若老人没有遗嘱，且亲妹妹是唯一的第二顺序继承人，则亲妹妹应继承遗产。
3. 在处理遗产时，建议咨询专业律师或法律机构，以确保遗产分配的合法性和公正性。

希望以上分析能对您有所帮助。如有任何进一步的问题或需要更详细的法律建议，请随时咨询。