面对被员工起诉没签劳动合同，并且员工已经提交了逼迫离职申请并申请了劳动仲裁的情况，公司需要采取一系列积极且合法的措施来应对。以下是一些详细的建议：
一、确认劳动关系及证据收集
确认劳动关系：
- 尽管没有签订书面劳动合同，但公司应确认与员工之间是否存在事实劳动关系。这可以通过工资支付凭证、工作证、考勤记录、同事证言等多种方式来证明。
收集证据：
- 公司应积极收集所有能证明劳动关系存在的证据，包括但不限于工资发放记录、工作证、考勤表、工作邮件、项目合作记录等。
- 如果员工有提交逼迫离职申请的相关证据，公司也应收集并准备相应的反驳证据，如员工自愿离职的声明、工作交接记录等。
二、准备仲裁材料
仲裁申请书：
- 公司需要准备一份详细的仲裁申请书（或答辩书），明确双方的信息、仲裁请求（如反驳员工的双倍工资诉求、确认离职性质等）及事实理由。
证据清单：
- 列出所有收集到的证据，并附上证据的复印件或原件（根据仲裁委员会的要求），确保证据的完整性和真实性。
三、参与仲裁流程
举证期限：
- 仲裁过程中会有举证期限，公司需要在规定时间内提交所有相关证据。逾期提交的证据可能不会被仲裁委员会采纳。
调解与裁决：
- 仲裁委员会一般会先进行调解，如果调解不成，则会进行仲裁裁决。公司应积极参与调解过程，争取达成双方都能接受的解决方案。
- 如果对仲裁结果不服，公司可以在规定时间内向法院提起诉讼。但需注意，劳动仲裁是劳动争议诉讼的前置程序，未经仲裁的劳动争议案件，法院通常不予受理。
四、应对策略与风险防控
辩称合理原因：
- 在仲裁中，公司可以辩称因疏忽等合理原因未及时签订劳动合同，而非故意为之。但这需要公司提供相应的证据来支持这一说法。
时效抗辩：
- 对于员工主张的双倍工资诉求，如果超过时效（一般从用工之日起超过一年未签合同，仅支持一年内的双倍工资差额），公司可以主张时效抗辩。
审查仲裁请求及证据：
- 公司应认真审查员工的仲裁请求及证据，如有反驳证据或员工主张的事实不清、证据不足的情况，公司应及时提交反驳证据并据理力争。
法律风险防控：
- 公司应重视仲裁程序，依法依规应对，以降低可能的法律风险和经济损失。同时，公司也应考虑未来如何避免类似情况的发生，如加强劳动合同管理、完善人力资源制度等。
五、后续执行与关注
执行仲裁裁决：
- 如果仲裁裁决对公司不利，公司需要按照裁决结果履行义务。如果公司不履行裁决，员工有权向法院申请强制执行。
关注时间节点：
- 在整个仲裁过程中，公司需要密切关注各个时间节点，如举证期限、仲裁开庭时间、裁决作出时间等，以确保自身权益得到有效维护。
综上所述，面对被员工起诉没签劳动合同并申请劳动仲裁的情况，公司需要积极收集证据、准备仲裁材料、参与仲裁流程，并采取相应的应对策略和风险防控措施。同时，公司也应从中吸取教训，加强劳动合同管理，以避免类似情况的发生。