关于变更抚养关系的管理机关，这主要涉及到法律程序和行政管理的两个方面，我来为您详细解答。

首先，从法律程序的角度来看，变更抚养关系通常需要通过人民法院进行。具体来说，如果您或对方希望变更孩子的抚养权，应该向被监护人（即孩子）住所地的人民法院提起民事诉讼。这是因为，根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，对公民提起的民事诉讼，由被告住所地人民法院管辖，而对于不服指定监护或变更监护关系的案件，则由被监护人住所地人民法院管辖。所以，在变更抚养权的情境下，被监护人住所地的人民法院是合适的管辖法院。

其次，从行政管理的角度来看，民政部门并不直接管理抚养关系的变更。虽然民政部门在婚姻登记、家庭关系等方面有一定的管理职责，但抚养关系的变更主要是一个法律问题，需要通过司法程序来解决。不过，如果您和对方是通过协议方式来变更抚养关系，并且希望这种变更得到某种形式的官方认可或备案，那么您可以咨询当地的民政部门或相关机构，看是否有相应的程序或要求。但需要注意的是，协议变更抚养关系并不需要在民政局婚姻登记处进行备案，这一点在深圳市人民政府门户网站的互动交流中也有明确的答复。

最后，我想强调的是，无论您选择通过法律程序还是协议方式来变更抚养关系，都应该以孩子的利益为出发点和落脚点。在做出任何决定之前，请充分考虑孩子的感受和需要，确保变更抚养关系不会对孩子的身心健康造成不利影响。

希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的咨询，请随时告诉我。