公司不可以仅留紧急联系人而完全不留其他常规联系人信息，这样的做法在法律和实务操作上均存在不合理性和潜在风险。以下从不同角度进行详细分析：
一、法律合规性角度
公司登记与公示要求：
- 根据《公司法》及相关工商登记管理规定，公司在设立或变更时，需要向工商行政管理部门提交包括公司名称、住所、法定代表人、注册资本、经营范围等基本信息。虽然直接的法律条文可能未明确提及“紧急联系人”或“常规联系人”的登记要求，但公司作为法人实体，其运营过程中需要保持与外界的有效沟通，包括与政府部门、合作伙伴、客户等的联系。
- 完全不留常规联系人信息，可能导致公司在需要接收重要文件、通知或进行法律程序时无法及时响应，从而违反相关管理规定或影响公司权益。
合同履行与通知义务：
- 公司在与第三方签订合同时，通常会约定双方的联系人和联系方式，以确保合同履行过程中的信息畅通。如果公司仅留紧急联系人，而该联系人可能并不负责日常合同事务的处理，那么在合同履行过程中可能出现信息传递不畅、延误或错误的情况，进而引发合同纠纷。
二、实务操作角度
日常运营需要：
- 公司在日常运营中，需要与供应商、客户、合作伙伴等保持密切联系，以处理订单、发货、收款、售后服务等事务。如果公司没有留下常规的联系人信息，这些日常事务的处理将变得困难重重，甚至可能导致业务中断。
紧急情况应对：
- 虽然紧急联系人在公司遇到紧急情况时（如安全事故、法律纠纷等）能够发挥重要作用，但紧急联系人并不能完全替代常规联系人。因为紧急情况毕竟属于少数，而日常运营中的沟通需求则是持续且频繁的。
公司形象与信誉：
- 一个规范、专业的公司应该具备完善的联系人体系，包括常规联系人和紧急联系人。这样的设置不仅体现了公司的管理水平和专业素养，也有助于提升公司的形象和信誉。相反，如果公司仅留紧急联系人，可能会给外界留下不专业、不规范的印象。
三、建议与措施
完善联系人体系：
- 公司应该建立完善的联系人体系，包括常规联系人和紧急联系人。常规联系人可以负责日常运营中的沟通事务，而紧急联系人则可以在公司遇到紧急情况时迅速响应。
明确联系人职责：
- 公司应该明确每个联系人的职责和权限，确保在需要时能够迅速找到并联系到相关人员。同时，公司也应该定期对联系人信息进行更新和确认，以确保信息的准确性和有效性。
遵守相关法律法规：
- 公司在设置联系人体系时，应该遵守相关法律法规的规定，确保公司的运营活动合法合规。如果公司对相关法律法规不了解或存在疑问，可以及时咨询专业律师或相关机构以获取帮助。
如果有任何关于公司法务方面的疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。