结论：全责方在私了并签完调解协议书、付完钱后，是否还可以申请保险，需分情况讨论。

1. 调解协议书内容明确且已履行完毕：

   • 如果调解协议书中明确约定了赔偿金额、支付方式以及双方权利义务的终结，且全责方已经按照协议内容支付了全部赔偿款项，那么通常情况下，全责方不能再就同一事故向保险公司申请额外的赔偿。因为调解协议书在法律上具有一定的约束力，双方应当遵守协议内容。

2. 调解协议书未涵盖保险理赔事项：

   • 如果调解协议书并未涉及保险理赔的具体事项，或者协议中明确保留了全责方向保险公司申请理赔的权利，那么全责方在支付完赔偿款项后，仍然有权根据保险合同的约定，向保险公司申请理赔。但需要注意的是，全责方在申请理赔时，可能需要提供相关的证据材料，如事故认定书、调解协议书、支付凭证等，以证明其符合保险理赔的条件。

3. 保险合同中有特别约定：

   • 如果保险合同中有特别约定，如“被保险人在未获得保险公司书面同意前，不得与受害人达成任何赔偿协议”，那么全责方在私了并签完调解协议书后，可能会面临无法获得保险公司理赔的风险。因为这种情况下，全责方的私了行为可能违反了保险合同的约定，导致保险公司拒绝理赔。

建议：

• 在私了并签订调解协议书前，全责方应当仔细阅读协议内容，确保协议中明确约定了保险理赔的相关事项，或者至少不违反保险合同的约定。
• 如果全责方对保险理赔事宜存在疑虑，可以在签订调解协议书前咨询保险公司或专业律师的意见，以避免后续产生不必要的纠纷。
• 如果全责方已经签订了调解协议书并支付了赔偿款项，但发现协议中存在不利于自己的条款或遗漏了重要事项，可以及时与对方协商修改协议或寻求法律救济。

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