结论：公司驾驶员开车时经常玩手机，公司是否可以开除该驾驶员，需结合具体情况判断，但通常若此行为严重违反公司规章制度或法律法规，公司有权解除劳动合同。

一、从公司规章制度角度分析

1. 规章制度内容：

   • 公司通常会在员工手册或相关规章制度中明确规定员工在工作期间的行为规范，包括禁止在驾驶过程中使用手机等可能分散注意力的行为。
   • 若规章制度中明确将此类行为列为严重违纪行为，并规定了相应的处罚措施，包括解除劳动合同，则公司有权依据规章制度进行开除。

2. 规章制度合法性：

   • 规章制度必须合法有效，即内容不违反法律法规，制定程序合法（如经过民主程序制定并公示）。
   • 若规章制度合法且员工已知悉并同意遵守，则公司可依据规章制度对违规员工进行处罚。

二、从法律法规角度分析

1. 交通安全法规：

   • 驾驶员在驾驶过程中使用手机属于分心驾驶行为，违反了《中华人民共和国道路交通安全法》等相关规定。
   • 若驾驶员因此行为导致交通事故或存在严重安全隐患，公司可能面临法律责任，同时也有权对违规驾驶员进行严肃处理。

2. 劳动合同法：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。
   • 若驾驶员的行为被认定为严重违反公司规章制度或法律法规，公司有权依据该条款解除劳动合同。

三、从实际操作角度分析

1. 证据收集：

   • 公司在处理此类事件时，应确保有充分的证据证明驾驶员存在违规行为，如监控录像、行车记录仪数据等。
   • 证据应真实、合法、有效，能够证明驾驶员的违规行为及其严重性。

2. 处理程序：

   • 公司在决定开除驾驶员前，应按照公司规章制度和法律法规规定的程序进行，如通知工会、听取驾驶员陈述和申辩等。
   • 处理程序应合法合规，避免因程序不当而导致法律纠纷。

四、建议与风险提示

1. 建议：

   • 公司应完善规章制度，明确禁止在驾驶过程中使用手机等分心驾驶行为，并规定相应的处罚措施。
   • 公司应加强对驾驶员的培训和教育，提高驾驶员的安全意识和法律意识。
   • 公司在处理此类事件时，应确保证据充分、程序合法，避免因处理不当而导致法律纠纷。

2. 风险提示：

   • 若公司未按照规章制度和法律法规规定的程序进行开除处理，可能面临违法解除劳动合同的法律风险。
   • 若驾驶员的行为未达到严重违纪的程度，公司随意开除可能面临支付经济补偿金或赔偿金的风险。

总结：公司驾驶员开车时经常玩手机，若此行为严重违反公司规章制度或法律法规，公司有权解除劳动合同。但公司在处理此类事件时，应确保规章制度合法有效、证据充分、程序合法，以避免法律纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。