私下签订的分手协议中放弃抚养费的条款，在一般情况下是不具备法律效力的。这主要基于以下几点法律分析和建议：

一、抚养费的法定义务

抚养子女是父母的法定义务，这一义务由法律强制规定，旨在保障子女的合法权益和生活所需。抚养费作为父母履行抚养义务的一种方式，其存在具有明确的法律基础。因此，父母不能通过私下协议随意放弃这一义务。

二、私下协议的法律效力

1. 一般无效情形：

   • 私下签订的放弃抚养费协议，往往因违反法律规定而被认定为无效。这是因为抚养义务是法律强制规定的，不能通过私下协议来免除或变更。
   • 即便双方自愿达成协议，如果损害了子女的合法权益，比如子女日后因生活、学习等需要抚养费却得不到，该协议也可能被法院认定无效。

2. 特殊有效情形：

   • 如果在协议签订后，抚养方因经济困难等特殊情况无法继续支付抚养费，且双方能够协商一致对协议进行变更，同时这种变更符合法定条件（如不损害子女利益），则变更后的协议可能是有效的。
   • 例如，一方突然失业导致经济困难，另一方同意暂时少付抚养费，只要不影响孩子的正常生活和学习，这种协议变更就可能被认可。

三、法律建议与后果

1. 法律建议：

   • 在签订任何涉及抚养费的协议时，务必确保协议内容合法、合规，且不损害子女的合法权益。
   • 如果确实需要变更抚养费支付方式或数额，建议通过法律途径进行，如向法院申请变更抚养费支付令等。

2. 可能的法律后果：

   • 如果私下签订的放弃抚养费协议被认定无效，子女仍有权向未履行抚养义务的一方主张抚养费。
   • 如果因放弃抚养费导致子女生活陷入困境或无法接受正常教育等，未履行抚养义务的一方可能面临法律责任。

四、实际案例参考

以小许和小丽的案例为例，他们在离婚时私下签订协议，小丽放弃要求小许支付孩子的抚养费。但后来小丽因独自抚养孩子经济压力大，要求小许支付抚养费。小许以协议为由拒绝，但小丽认为该协议损害了孩子的权益，请求法院判定协议无效并让小许支付抚养费。最终，法院可能认定该协议因损害子女权益而无效，小许仍需承担抚养义务。

总结来看，私下签订的分手协议中放弃抚养费的条款，在一般情况下是不具备法律效力的。为了保障子女的合法权益，建议父母在签订任何涉及抚养费的协议时，务必谨慎对待并咨询专业律师的意见。如果有任何关于离婚财产纠纷或遗产继承方面的法律问题，也可以直接向我咨询。