针对您提出的问题“法律要求需要提出书面申请要求履职的当事人能否口头申请”，我们可以从以下几个方面进行详细解答：

首先，我们需要明确的是，在大多数法律程序中，特别是涉及行政机关履职的申请中，书面申请通常是更为正式和推荐的方式。书面申请能够确保申请内容的清晰、准确，并且为后续的审查和处理提供明确的依据。

然而，就您所问的具体情境而言，即法律是否允许口头申请，这通常取决于具体的法律规定和行政程序的要求。在某些情况下，如果法律或行政程序并未明确要求必须以书面形式提出申请，那么口头申请在理论上是有可能被接受的。但这种情况相对较少，且通常需要满足一定的条件，如口头申请后需及时补交书面材料等。

进一步地，我们参考了相关的法律条文和行政程序指南。根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，申请人申请行政复议时，可以书面申请；书面申请有困难的，也可以口头申请。这一规定明确指出了在行政复议这一特定程序中，口头申请是被允许的。但需要注意的是，口头申请时，行政复议机关应当当场记录申请人的基本情况、行政复议请求、申请行政复议的主要事实、理由和时间，以确保申请的准确性和可追溯性。

不过，当涉及到要求行政机关履行法定职责的具体情境时，情况又有所不同。根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，在起诉被告不履行法定职责的案件中，原告应当提供其向被告提出申请的证据。这通常意味着，为了保障自身权益并顺利推进法律程序，原告最好以书面形式提出申请，并保留好相关证据。虽然法律并未直接排除口头申请的可能性，但在实际操作中，书面申请更为稳妥和有效。

综上所述：

1. 在大多数情况下，法律更倾向于书面申请，以确保申请的准确性和可追溯性。
2. 在某些特定程序（如行政复议）中，口头申请是被允许的，但需满足一定条件，如行政复议机关需当场记录申请内容。
3. 在要求行政机关履行法定职责的情境中，为了保障自身权益并顺利推进法律程序，建议以书面形式提出申请，并保留好相关证据。

因此，如果法律或行政程序并未明确要求必须以书面形式提出申请，且您认为口头申请更为便捷或符合您的实际情况，您可以尝试口头申请。但为了确保申请的准确性和有效性，以及后续法律程序的顺利进行，我们建议您在可能的情况下尽量选择书面申请。