若子女对老赖使用其账户进行资金往来毫不知情，通常无需承担责任；但若子女明知却仍协助，则可能需承担相应的法律责任。针对这一问题，我们可以从以下几个方面进行分析：

1. 子女不知情的情况：

   • 一般而言，如果子女对老赖（即债务人）使用其银行账户进行资金往来的行为毫不知情，且未参与老赖的任何恶意行径，那么子女通常不会被牵连承担责任。例如，子女可能只是出于亲情或信任，将银行卡借给老赖应急，但并未意识到老赖会利用其账户进行不当操作。
   • 在这种情况下，子女可以向法院详细说明情况，以证明自身的无辜。如果法院认定子女确实不知情，且未从老赖的行为中获益，那么子女通常无需承担任何法律责任。

2. 子女明知且协助的情况：

   • 然而，如果子女明知老赖使用其银行账户是为了进行非法活动或转移财产，却仍然提供协助，那么子女就可能被认定为共同侵权或帮助转移财产等行为。
   • 在这种情况下，子女需承担相应的法律责任，可能会被追究刑事责任，如作为拒不执行判决、裁定罪的共犯等。这是因为子女在明知老赖行为不当的情况下，仍然提供了实质性的帮助，构成了共同犯罪。

综上所述，子女是否承担责任取决于其对老赖使用其账户进行资金往来的知情程度以及是否提供了协助。如果子女确实不知情且未参与任何不当行为，那么通常无需承担责任；但如果子女明知且协助了老赖的不当行为，那么就需要承担相应的法律责任。我建议，在实际操作中，子女应谨慎处理与老赖之间的财务往来，避免被卷入不必要的法律纠纷。如有进一步需要，您可以继续咨询我。