若该司机为党员：
- 纪律处分：根据《中国共产党纪律处分条例》，公车私用属于违反廉洁纪律的行为。纪委发现后，会根据情节轻重给予相应的党纪处分，如警告、严重警告、撤销党内职务、留党察看或开除党籍等。具体处分程度取决于公车私用的次数、时长、造成的后果以及是否主动交代等因素。
- 责令整改：除了纪律处分外，纪委还会要求该司机所在单位进行整改，包括加强公车管理、完善相关制度、开展警示教育等，以防止类似问题再次发生。
- 退赔费用：如果公车私用过程中产生了费用（如油费、过路费等），纪委会要求该司机退赔相关费用。
若该司机非党员：
- 行政处分：虽然非党员不适用党纪处分，但根据《中华人民共和国监察法》及相关规定，公职人员（包括劳务派遣人员，如果其身份被认定为公职人员或参照公职人员管理）公车私用可能构成违反工作纪律或廉洁纪律的行为，监察机关可以给予警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等政务处分。
- 单位内部处理：即使不构成政务处分，劳务派遣司机所在单位也有权根据内部规章制度对其进行处理，如警告、罚款、解除劳务派遣合同等。
- 退赔费用与整改：与非党员情况类似，如果公车私用产生了费用，需要退赔；同时，单位也需要加强公车管理，完善制度，防止问题再次发生。
通用处理措施：
- 调查核实：纪委或监察机关在发现公车私用问题后，会进行调查核实，收集相关证据，确保处理决定的公正性和准确性。
- 公开通报：为了起到警示作用，纪委或监察机关可能会将公车私用案例进行公开通报，以儆效尤。
- 法律责任：如果公车私用行为涉嫌违法（如盗窃公车、故意损坏公车等），则可能面临刑事责任追究。
建议：
- 对于劳务派遣司机而言，应严格遵守公车使用规定，不得将公车用于私人用途。
- 对于用工单位而言，应加强对公车的管理和监督，完善相关制度，确保公车使用的合规性和透明性。
- 如果遇到公车私用问题，应及时向纪委或监察机关报告，并配合调查处理工作。
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