关于工厂是否可以要求您提供残疾证的问题，这实际上涉及到个人隐私权、单位索要目的的合法性以及劳动法相关规定等多个方面。

首先，残疾证作为记录个人残疾状况的重要证件，包含了大量的个人隐私信息，如残疾类型、等级及身份信息等。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人的个人信息受法律保护，您对自己的个人信息享有自主决定权，有权决定是否向工厂提供。

其次，我们需要判断工厂索要残疾证的目的是否合法。如果工厂索要残疾证并非基于合理的工作需要，比如为了落实残疾人就业的优惠政策或保障残疾职工的合法权益等正当目的，而是可能用于其他不当用途（如非法歧视），那么您完全有权利拒绝提供。当然，在特定情况下，比如工厂需要了解您的残疾状况以便合理安排工作、提供辅助设施或申请税收优惠时，工厂应与您充分沟通并解释说明后，请求您自愿提供。但即使在这种情况下，工厂也负有对您隐私信息进行保密的义务。

再者，根据《中华人民共和国劳动法》及相关法规，工厂在招聘、录用、晋升等过程中不得因您残疾而对您进行歧视。以获取残疾证为条件进行上述活动可能构成非法歧视，违反法律规定。就业歧视是违法的，工厂若因此承担法律责任，可能面临法律制裁和赔偿。

最后，如果工厂因您拒绝提供残疾证而对您采取不合理的处分措施或侵害您的合法权益，您可以通过多种途径维护自己的权益，包括向劳动监察部门投诉、申请劳动仲裁或寻求法律援助等。

综上所述，工厂在要求您提供残疾证时应谨慎行事，确保行为的合法性和合理性，并充分尊重您的隐私权和就业平等权。您在面对此类要求时也应了解自己的权利和法律边界，必要时可寻求专业法律帮助以保护自己的合法权益。