执行案件可以申请再审。以下是对这一问题的详细解答：
申请再审的权利：
- 对于正在进行之中或已经执行完毕的案件，若在特定前提下，当事人是具有申请再审的权利的。执行程序和审判程序是相互独立的，各自有着不同的作用。执行旨在落实生效法律文书所明确的权利，而再审则是对已生效的判决、裁定、调解书再次进行审理。
申请再审的法定事由：
- 申请再审需要具备一定的法定事由，如出现了新的证据，这些新证据能够足够地推翻原来的判决或裁定；原来的判决或裁定所认定的事实的主要证据是虚假的；审判人员在审理此案时存在着贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判的行为等等。
申请再审的时间要求：
- 申请再审的时间要求通常是在判决、裁定正式生效之后的六个月之内提出。然而，如果出现了以下三种情况之一，即有新的证据足以推翻原判决、裁定的，原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的，以及据以做出原判决、裁定的法律文书被撤销或者变更的，则当事人在知道或者应当知道这个消息后的六个月以内就可以提出申请。
申请再审的法律程序：
- 执行案件申请再审，首先要明确申请主体，通常是当事人、利害关系人等。
- 提交材料：向作出原生效裁判的上一级法院提交再审申请书，并附上原审判决书、裁定书、调解书等相关法律文书，同时说明申请再审的法定事由及具体事实、理由。
- 法院审查：法院收到申请后，会进行形式和实质审查。形式审查主要看材料是否齐全；实质审查判断是否符合再审条件。
- 决定再审：经审查，若符合再审条件，法院会裁定再审，并中止原判决、裁定的执行。不符合则裁定驳回再审申请。
申请再审对执行程序的影响：
- 申请再审并不会影响到正常的执行程序，但是如果按照审判监督程序的结果决定再审，则案件可能会被暂时中止原判决、裁定和调解书的执行。不过，存在特殊情形，比如追索赡养费、扶养费、抚养费、抚恤金、医疗费用、劳动报酬等案件，可以不中止执行。
综上所述，执行案件在符合法定条件和时间限制的前提下是可以申请再审的。如果您对执行案件的再审问题存在疑问，或者不确定自己的情况是否符合再审条件，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。