针对“住院期间私自离开医院后死亡赔偿”的问题，以下是我的详细解答：
责任认定：
- 在住院期间，患者与医院之间形成的是医疗服务合同关系。医院对患者负有护理义务，但这并不等同于法律上的监护职责。护士对病人的巡视通常是间断的，并非24小时的监护。
- 如果患者具有完全民事行为能力，且未经医院许可擅自离院，这通常被视为不配合医院诊疗规范的行为。在此情况下，如果患者在医院管理范围之外发生意外死亡，其死亡与医院的医疗诊疗行为通常没有法律上的因果关系。
法律后果：
- 根据相关法律法规和司法实践，医院在此类情况下一般不承担赔偿责任。因为医院已经履行了适当的护理义务，且患者的死亡并非由医院的医疗行为直接导致。
- 患者家属如果认为医院的疏忽与患者的死亡有一定的因果关系，并要求医院赔偿，需要提供充分的证据来支持其主张。然而，在大多数情况下，由于患者擅自离院的行为，法院往往不会支持家属的赔偿请求。
建议与思考：
- 对于患者及其家属来说，在住院期间应严格遵守医院的规章制度和诊疗规范，不要擅自离院或进行其他可能危及自身安全的行为。
- 如果患者确实需要离院处理紧急事务，应事先与医院沟通并获得许可，同时确保有家属或陪护人员陪同，以降低意外风险。
- 对于医院来说，应加强与患者的沟通和教育，提高患者的安全意识和依从性。同时，医院也应完善其护理和巡视制度，确保在患者需要时能够及时提供帮助和支持。
综上所述，住院期间私自离开医院后死亡的赔偿问题，通常需要根据具体情况进行责任认定和法律后果分析。在大多数情况下，由于患者擅自离院的行为与医院的医疗诊疗行为没有法律上的因果关系，医院一般不承担赔偿责任。如有任何法律疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。