关于“老赖（失信被执行人）在执行期间租别人门市，且持续多年支付租金，是否构成拒执行罪”的问题，我们可以从以下几个方面进行分析：
结论前置
一般情况下，仅因支付租金行为本身，并不直接构成拒执行罪。但若该行为导致法院判决、裁定无法执行或妨碍执行，则可能构成拒执行罪。
详细分析
拒执行罪的定义：
- 拒执行罪，全称拒不执行判决、裁定罪，是指对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的行为。
支付租金与拒执行的关系：
- 支付能力：若失信被执行人（老赖）有支付租金的能力，但拒绝履行法院生效判决、裁定确定的义务，这可能构成拒执行罪的一个方面。然而，单纯支付租金的行为并不直接等同于拒绝执行，需要看其整体财产状况和执行情况。
- 财产状况：法院在执行过程中，会综合考虑被执行人的财产状况。若被执行人虽然支付租金，但仍有其他财产可供执行，且未妨碍法院执行，则不构成拒执行罪。
- 执行妨碍：若支付租金的行为导致法院无法执行或妨碍了执行，如通过支付租金转移财产、隐匿财产等，则可能构成拒执行罪。
具体情形分析：
- 若失信被执行人支付租金后，仍有足够财产履行法院判决、裁定，且未采取任何妨碍执行的行为，则不构成拒执行罪。
- 若失信被执行人支付租金后，无其他财产可供执行，或采取隐瞒、转移财产等方式逃避执行，导致法院判决、裁定无法履行，则可能构成拒执行罪。
法律建议
- 对于失信被执行人而言，应积极配合法院执行工作，履行法院判决、裁定确定的义务。
- 若确实存在困难或争议，应及时与法院沟通，寻求合法合理的解决方案。
- 避免采取任何可能妨碍执行或转移财产的行为，以免触犯法律。
综上所述，支付租金行为本身并不直接构成拒执行罪，但需结合被执行人的整体财产状况、执行情况以及是否存在妨碍执行的行为等因素进行综合判断。若您有相关法律问题或疑虑，可直接向我咨询。