当工厂员工发生非因工意外死亡时，其家属有权向工厂主张相应的赔偿或待遇。以下是关于非因工意外死亡赔偿方式的详细解答：

一、法律依据

根据《中华人民共和国社会保险法》及相关法规，如《企业职工基本养老保险遗属待遇暂行办法》，参加基本养老保险的个人因病或者非因工死亡的，其遗属可以领取丧葬补助金、抚恤金等遗属待遇。

二、赔偿项目与标准

1. 丧葬补助金：

   • 标准通常按照参保人员死亡时本省（市、自治区）上一年度城镇居民月人均可支配收入的倍数计算，具体倍数根据当地政策而定，一般为2倍。
   • 所需资金从基本养老保险基金中支付。

2. 抚恤金：

   • 抚恤金标准以死亡时本省上一年度城镇居民月人均可支配收入为基数，根据本人缴费年限（包括实际缴费年限和视同缴费年限）确定发放月数。
   • 缴费年限不同，发放月数也不同，最高发放月数一般不超过24个月。
   • 对于退休人员，抚恤金标准根据本人在职时的缴费年限确定最高发放月数，并根据已领取基本养老金的年数进行相应扣减。

3. 遗属生活补助费（如适用）：

   • 如果职工有多名遗属，且遗属符合一定条件（如完全丧失劳动能力、达到一定年龄等），遗属可以享受生活补助费。
   • 生活补助费的标准和领取条件根据当地政策而定，通常不得超过该职工生前月工资或月基本养老金。

三、申请流程

1. 准备材料：

   • 家属需要准备死亡证明、与死者的关系证明（如户口本、结婚证等）以及其他可能需要的材料（如身份证、社保卡等）。

2. 提交申请：

   • 将准备好的材料提交给死者生前所在单位的人事部门或社保经办机构。

3. 审核与发放：

   • 单位或社保经办机构会对申请材料进行审核，确认无误后，会按照规定的标准计算并发放丧葬补助金、抚恤金等遗属待遇。

四、注意事项

1. 及时申请：家属应在知道或应当知道员工死亡之日起的一定期限内（具体根据当地政策而定）提出申请，以免错过申请时效。

2. 保留证据：在处理过程中，家属应妥善保管好相关证据和材料，以备不时之需。

3. 了解政策差异：由于各地政策可能存在差异，家属在申请前应详细了解当地的政策和规定，确保申请的准确性和有效性。

4. 协商与调解：如果单位拒绝支付或双方对赔偿金额存在争议，家属可以尝试与单位进行协商或调解。

5. 法律途径：如果协商无果，家属可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。

综上所述，工厂员工非因工意外死亡的赔偿方式涉及多个方面，包括法律依据、赔偿项目与标准、申请流程以及注意事项等。家属在申请赔偿时应仔细了解相关政策规定，并准备好必要的申请材料。如有任何疑问或争议，应及时咨询专业人士或寻求法律帮助。