在宠物店被宠物抓伤，这一事件主要涉及的是侵权损害责任，特别是动物致人损害的责任。关于哪个部门管理这一问题，我们可以从以下几个角度来分析：

1. 直接管理部门：

   • 在大多数情况下，如果宠物在宠物店内抓伤了顾客，首先应当由宠物店承担责任，因为宠物店有责任确保店内的宠物不会对顾客造成伤害。此时，管理责任主要落在宠物店自身，而非某个特定的政府部门。
   • 如果宠物店无法或不愿承担责任，受害者可以通过法律途径追究其责任，包括向当地市场监管部门投诉或提起民事诉讼。

2. 相关监管部门：

   • 从行政监管的角度来看，宠物店作为商业经营主体，其经营活动受到当地市场监管部门的监督和管理。如果宠物店存在违法违规经营行为，如未办理相关证照、未采取必要的安全措施等，市场监管部门有权进行查处。
   • 此外，如果宠物抓伤事件涉及公共卫生或动物防疫问题，卫生部门或农业（畜牧兽医）部门也可能介入调查和处理。

3. 法律建议：

   • 对于受害者而言，在发生抓伤事件后，应首先寻求医疗救助，确保伤口得到妥善处理。
   • 同时，应保留好相关证据，如照片、视频、医疗记录等，以便后续追究责任。
   • 如果宠物店不配合处理或拒绝承担责任，受害者可以向当地市场监管部门投诉，或者咨询专业律师提起民事诉讼，要求赔偿损失。

综上所述，在宠物店被宠物抓伤这一事件中，虽然没有一个特定的政府部门直接负责处理此类纠纷，但受害者可以通过法律途径追究宠物店的责任，并寻求相关监管部门的帮助和支持。如果你需要进一步的法律咨询或帮助，可以直接向我提问，我作为专业律师将竭诚为你服务。