培训机构在提供培训服务并收取费用后，不向学员开具发票的行为是违法的。以下是对这一问题的详细解答：
一、法律依据
根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条明确规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务收取款项时，收款方必须向付款方开具发票。培训机构作为提供服务的单位，在收取培训费用时，必须依法向学员开具发票。
二、对消费者权益的影响
- 维权依据：发票是交易双方合法交易的凭证，也是消费者维护自身权益的重要依据。如果培训机构不开发票，消费者在后续出现培训质量不达标、退费纠纷等问题时，将因缺乏有效证据而难以维权。
- 报销需求：对于需要报销培训费用的消费者来说，没有发票将直接影响其报销需求，从而增加经济负担。
三、税务风险与法律责任
- 偷逃税款：培训机构不开发票的行为可能涉嫌偷逃税款，违反了《中华人民共和国税收征收管理法》等相关法律法规。发票是税务机关进行税收征管的关键依据，不开发票将隐瞒实际收入，导致少缴税款。
- 法律处罚：根据《中华人民共和国发票管理办法》第三十五条的规定，对于应当开具而未开具发票的行为，税务机关有权责令改正，并可处以1万元以下的罚款；有违法所得的，还将予以没收。
四、消费者应对措施
- 沟通协商：首先尝试与培训机构进行友好沟通，明确指出开具发票是消费者的合法权益，也是培训机构应尽的法律义务。要求培训机构及时开具正规发票，并保留好聊天记录、通话录音等证据。
- 向税务部门投诉：如果沟通无果，消费者可以向当地税务部门进行投诉或举报。投诉时准备好缴费凭证（如转账记录、收据等）和培训服务相关证明（如培训合同、课程表、上课记录等），以便税务部门进行调查核实。
- 向消费者权益保护机构投诉：除了向税务部门投诉外，消费者还可以向相关的消费者权益保护机构进行投诉，寻求帮助和支持。
- 提起法律诉讼：如果与培训机构之间签订了合同，并且合同中明确规定了培训机构需要提供发票，那么当培训机构拒绝开具发票时，消费者可以根据合同条款向法院提起诉讼，要求培训机构履行合同义务并赔偿损失。
综上所述，培训机构不开发票的行为是违法的，不仅损害了消费者的合法权益，还可能导致培训机构面临严重的税务风险和法律责任。因此，建议消费者在接受培训服务时一定要索取发票，并在遇到问题时及时采取法律手段维护自己的权益。