当银行保安和监控室人员发生打架事件时，处理流程需要严谨且公正，以下是具体的处理建议：

一、立即制止打斗

首要任务是迅速介入并制止双方的打斗行为，防止事态进一步恶化，确保人员安全和银行秩序的稳定。

二、评估伤害与损失

1. 对涉事人员进行身体检查，确认是否有受伤情况，并及时记录伤害程度。
2. 评估打斗过程中是否造成了银行财产的损失，包括设备损坏、物品丢失等。

三、报警与调查

1. 立即向当地公安机关报案，由警方介入进行正式调查。
2. 银行内部也应启动调查程序，了解打斗的起因、经过和涉事人员的具体行为。

四、法律处罚与责任承担

1. 根据《治安管理处罚法》，参与打架的保安和监控室人员可能面临拘留、罚款等处罚。具体处罚程度将依据打斗情节的轻重来决定。
2. 如果打斗行为导致对方受伤，涉事人员需承担民事赔偿责任，包括医疗费、误工费、护理费等。
3. 若打斗行为构成犯罪，如故意伤害罪，将依法追究刑事责任。

五、内部纪律处分

1. 银行应根据内部规章制度，对涉事保安和监控室人员给予相应的纪律处分，如警告、罚款、停职检查、开除等。
2. 对于事件中的管理漏洞或监管不力，也应追究相关管理人员的责任。

六、后续跟进与预防

1. 对受伤人员进行慰问和关怀，确保其得到妥善的治疗和休息。
2. 加强银行内部的安全管理和员工教育，提高员工的安全意识和法律意识。
3. 定期组织员工进行心理健康辅导和团队建设活动，增强员工之间的沟通和协作能力，预防类似事件的再次发生。

综上所述，处理银行保安和监控室打架事件需要综合考虑法律、纪律和人文关怀等多个方面，确保处理结果的公正性和合理性。同时，通过加强内部管理和员工教育，可以有效预防类似事件的再次发生。