自筹事业编单位不能自主随意解聘与辞退员工。事业编单位的辞退行为必须严格遵循法定的事由与程序，以下是具体的分析：
一、法定事由
自筹事业编单位作为事业单位的一种，其辞退员工必须基于以下法定事由：
- 旷工：员工连续旷工超过15个工作日，或1年内累计旷工超过30个工作日，单位可以解除聘用合同。
- 考核不合格：员工年度考核不合格且不同意调整工作岗位，或连续两年年度考核不合格，单位在提前30日书面通知后，可以解除聘用合同。
- 受开除处分及其他严重错误：员工受到开除处分，或存在连续两年岗位不能完成工作任务、损害单位经济权益、严重违背职业道德等行为，单位可以予以辞退。
- 其他法定情形：如员工存在试用期间不符合录用条件、严重违反单位规章制度、严重失职给单位造成重大损害等情形，单位也可以解除劳动合同。
二、辞退程序
自筹事业编单位在辞退员工时，必须严格按照以下程序进行：
- 调查核实：单位人事部门需对辞退事由进行调查核实，确保事实清楚、证据确凿。
- 通知本人并听取申辩：单位需将辞退理由明确通知被辞退人员，并保障其知情权和申诉权。被辞退人员有权进行申辩，单位应认真听取其意见。
- 作出决定并备案：经单位领导班子集体研究后作出辞退决定，并报同级事业单位人事综合管理部门备案，确保决策合法合规。
- 工作交接与出具证明：员工需按规定办理工作交接，单位应在解除劳动合同时出具相应证明，并办理档案和社会保险关系转移手续。
- 经济补偿：若符合支付经济补偿的情形，单位应依法支付相应的经济补偿金。
三、总结与建议
自筹事业编单位在辞退员工时，务必严格遵守法律法规和程序规定，确保辞退行为的合法性。同时，建议单位加强人事管理，建立健全考核制度，及时发现并处理员工存在的问题，以维护单位的正常运行和员工的合法权益。若员工认为辞退行为违法，可通过申请劳动仲裁或提起诉讼等方式维护自己的权益。
综上所述，自筹事业编单位不能自主随意解聘与辞退员工，必须基于法定事由并严格按照规定的程序进行。