针对您提出的问题“行政案件庭外和解是否需要原告申请延期审理期”，以下是我的详细解答：

首先，明确一点，庭外和解的期限是不会计入到审理期限中的。因此，在行政案件中，如果当事人选择进行庭外和解，是不需要申请延期审理的。这是因为庭外和解本身就是为了给双方提供一个更加灵活、和谐的解决纠纷的方式，如果还需要申请延期审理，那么庭外和解的灵活性就大打折扣了。

其次，如果当事人在庭外和解过程中达成了和解协议，那么就可以直接按照和解协议来履行，而无需再走判决的程序。这也意味着，一旦和解成功，就不需要再进行开庭审理了，从而节省了司法资源和当事人的时间、精力。

此外，需要说明的是，庭外和解的流程通常包括诉前调解、庭前调解以及诉中调解等阶段。在这些阶段中，法官会积极促成双方当事人的和解，化解矛盾。如果当事人愿意接受调解，并达成了和解协议，那么就可以避免正式的开庭审理程序。

综上所述，行政案件庭外和解不需要原告申请延期审理期。如果当事人选择在庭外进行和解，可以更加灵活地解决纠纷，并且一旦和解成功，就可以直接按照和解协议来履行，无需再走判决的程序。希望这个解答能够对您有所帮助。