关于“调解书逾期违约申请法律执行后的救济”这一问题，我们可以从以下几个方面进行详细分析：

结论前置

调解书逾期违约后，申请法律执行的救济途径主要包括：向法院申请强制执行、在执行过程中寻求和解或调解、对执行行为或执行标的提出异议以及在特定情况下申请恢复执行或参与分配。

详细分析

1. 向法院申请强制执行：

   • 当调解书确定的履行期限已经届满，而义务方未履行调解书确定的义务时，权利方可以向有管辖权的人民法院申请强制执行。
   • 申请强制执行时，需要提交强制执行申请书、调解书原件或经法院核对无异的复印件、申请执行人的身份证明等材料。
   • 法院受理执行申请后，将依法对义务方的财产进行查封、冻结、划拨等执行措施，以强制其履行调解书确定的义务。

2. 在执行过程中寻求和解或调解：

   • 在执行过程中，双方当事人仍然可以自愿达成和解或调解协议，以变更或履行原调解书确定的义务。
   • 和解或调解协议达成后，应当制作笔录，由双方当事人签名或者盖章，并交法院备案。
   • 如果和解或调解协议履行完毕，执行程序即告终结；如果义务方不履行和解或调解协议，权利方可以申请恢复执行原生效调解书。

3. 对执行行为或执行标的提出异议：

   • 在执行过程中，如果当事人认为法院的执行行为违反法律规定，或者案外人对执行标的提出异议，可以向法院提出书面异议。
   • 法院将对异议进行审查，并根据审查结果作出相应的裁定。如果裁定支持异议，将撤销或改正执行行为，或者中止对执行标的的执行。

4. 在特定情况下申请恢复执行或参与分配：

   • 如果执行程序因某种原因被中止或终结，而义务方后来具备了履行能力，权利方可以申请恢复执行。
   • 如果义务方的财产不足以清偿全部债务，而权利方又未在执行程序中获得全部清偿，可以参与分配程序，与其他债权人共同分配义务方的财产。

法律建议

在调解书逾期违约后，权利方应当及时采取措施保护自己的合法权益。首先，应当尽快向法院申请强制执行，以确保自己的债权得到及时实现。其次，在执行过程中，可以积极与义务方进行协商，寻求和解或调解的可能性。同时，也要密切关注执行程序的进展，对任何可能损害自己权益的行为及时提出异议。最后，如果执行程序因故中止或终结，而义务方后来具备了履行能力，权利方应当及时申请恢复执行或参与分配程序。

希望以上分析能对您有所帮助。如果您在合同纠纷或其他法律问题上遇到任何困难，都可以直接向我咨询。