结论前置：邻居家的鸡跑到你家被你的狗咬死，责任的划分主要取决于你是否对狗尽到了管理义务，以及邻居的鸡是否系主动进入你家且你是否有过错。若你未尽到管理义务，导致狗咬伤或咬死邻居的鸡，你应当承担赔偿责任；若邻居的鸡系主动进入且你无过错，则你可能无需承担责任或仅承担部分补偿责任。

分析说明：

1. 你的管理义务：

   • 作为狗的主人，你有义务确保狗不会对他人的财产或人身安全造成威胁。这包括采取必要的措施，如拴狗绳、设置围栏等，以防止狗随意攻击他人或他人的财物。
   • 如果你未尽到这些管理义务，导致狗咬伤或咬死了邻居的鸡，那么根据《民法典》的相关规定，你应当承担侵权责任，赔偿邻居因此遭受的损失。

2. 邻居的鸡的行为：

   • 如果邻居的鸡是主动进入你家，且你在此过程中没有过错（如未故意引诱、未疏于管理等），那么你可能无需承担全部赔偿责任。
   • 但是，考虑到你的狗毕竟造成了邻居的财产损失，从公平角度出发，你可能需要承担一定的补偿责任，具体数额可由双方协商确定。

3. 法律条款支持：

   • 《民法典》第一千二百四十五条规定：“饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任；但是，能够证明损害是因被侵权人故意或者重大过失造成的，可以不承担或者减轻责任。”
   • 根据这一条款，除非你能证明邻居的鸡是主动进入且你无过错，否则你应当承担赔偿责任。

法律建议：

• 在与邻居协商时，你可以强调你对狗的管理措施，以及邻居的鸡主动进入的事实（如果有的话），以争取减轻或免除你的赔偿责任。
• 如果双方无法达成一致，你可以建议通过法律途径解决争议，如起诉至法院，由法院根据事实和法律进行裁决。

行动指南：

• 首先与邻居进行友好协商，尝试达成赔偿或补偿协议。
• 如果协商无果，收集相关证据（如监控录像、证人证言等），以备后续可能的法律诉讼之需。
• 如有需要，可向我进一步咨询相关法律问题，以便更好地维护你的合法权益。