民事诉讼中，申请复议被驳回后，当事人申请民事监督的法律依据主要依据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定。具体分析如下：
申请民事监督的法律依据：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零九条，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审；当事人一方人数众多或者当事人双方为公民的案件，也可以向原审人民法院申请再审。当事人申请再审的，不停止判决、裁定的执行。在再审申请被驳回后，当事人仍认为判决、裁定有错误的，可以向人民检察院申请检察建议或者抗诉，这是民事监督的重要途径。
民事监督的适用范围与条件：
- 民事监督主要适用于判决、裁定存在错误，且这些错误可能涉及事实认定、法律适用或审判程序等方面。例如，有新的证据足以推翻原判决、裁定，或者原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明等情形（参见《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十一条）。
- 当事人向人民检察院申请检察建议或抗诉时，需要提交相关证据材料，以证明原判决、裁定存在错误。
民事监督的程序与效果：
- 人民检察院在收到当事人的申请后，会进行审查。如果认为判决、裁定确有错误，会依法提出检察建议或抗诉。
- 接受抗诉的人民法院将按照审判监督程序对案件进行重新审理，这可能导致原判决被撤销、改变或维持。
我建议，在申请民事监督前，当事人应仔细研究《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，确保自己的申请符合法律要求。同时，准备好相关证据材料，以支持自己的主张。如有进一步需要，您可以继续咨询我。