在二手房交易中，如果没有签订正式合同且没有支付首付，只承担了定金责任的话，那么定金的处理通常要依据定金合同的约定以及相关法律法规。以下是对这一问题的详细分析：

1. 定金的概念与性质：

   • 定金是在合同订立或在履行之前支付的一定数额的金钱或替代物，作为担保的担保方式。
   • 定金具有从属性、实践性、预先支付性和双重担保性。即定金随着合同的存在而存在，随着合同的消灭而消灭；定金需要实际交付才能成立；定金需要在合同成立后、未履行前交付；定金同时担保合同双方当事人的债权。

2. 定金责任的处理：

   • 如果交付定金的一方不履行债务（如放弃购买房屋），则通常丧失定金，无权要求返还。
   • 如果收受定金的一方不履行债务（如无法出售房屋），则通常需要双倍返还定金给交付定金的一方。

3. 没有正式合同的影响：

   • 尽管没有签订正式的房屋买卖合同，但如果双方已经就定金支付达成了明确的意思表示，并且定金已经实际交付，那么定金合同仍然可以成立并生效。
   • 在没有正式合同的情况下，定金的处理仍然要遵循定金合同的约定以及相关法律法规的规定。

4. 实际操作建议：

   • 在二手房交易中，建议双方尽快签订正式的房屋买卖合同，以明确双方的权利和义务，减少纠纷的发生。
   • 如果因故未能签订正式合同，双方应就定金的处理进行协商，并尽可能达成书面协议，以避免后续的争议。

综上所述，二手房交易中如果没有正式合同且没有支付首付，只承担了定金责任的话，定金的处理要依据定金合同的约定以及相关法律法规。如果双方无法就定金的处理达成一致，建议寻求专业法律帮助，以维护自己的合法权益。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。