美容院在提供服务后不开具发票的行为确实是违法的。以下是对此问题的详细解答：

法律依据

1. 《中华人民共和国发票管理办法》第十九条明确规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务收取款项时，收款方应向付款方开具发票。美容院作为提供美容服务的经营主体，在消费者接受服务并支付费用后，有义务为消费者开具与实际交易相符的发票。

2. 《中华人民共和国消费者权益保护法》第二十一条也规定，经营者提供商品或者服务时，应按照国家有关规定或商业惯例向消费者出具购货凭证或服务单据。这进一步强调了美容院开具发票的法律责任。

发票的重要性

发票不仅是交易的凭证，证明了消费者与美容院之间的交易关系，还是消费者维权的重要依据。若发生消费纠纷，发票可作为证据支持消费者的诉求。同时，发票也是税务部门监管商家、防止偷税漏税的重要手段。

美容院的违法后果

1. 税务处罚：如果美容院拒绝开具发票，将可能面临税务机关的处罚，包括责令改正、处以1万元以下的罚款、没收违法所得等。此外，还可能面临补缴税款等行政责任。

2. 商业信誉损害：此行为还会损害美容院的商业信誉，影响其长期经营和客户关系。

消费者的应对措施

1. 要求开具发票：消费者在接受美容服务时，有权要求美容院开具发票，并应妥善保管好发票，以备不时之需。

2. 投诉与举报：如遇美容院拒开发票的情况，消费者可以向当地税务部门进行举报，税务机关会依法对美容院进行处理。同时，也可以向消费者权益保护机构进行投诉，以维护自己的合法权益。

3. 法律途径维权：在必要时，消费者还可以通过法律途径维权，如向法院提起诉讼，要求美容院承担相应的法律责任。

综上所述，美容院在提供服务后必须开具发票，这是其法定义务。消费者应了解自己的权利，积极索要发票，并在遇到拒开发票的情况时采取适当的措施维护自己的合法权益。选择正规、有信誉的美容院进行消费也是预防此类问题的重要方法。